Logika Matematika - Pernyataan ,Kalimat Terbuka dan negasi

Berbeda dengan cabang matematika lainnya yang banyak melakukan perhitungan untuk mendapatkan suatu bilangan yang dicari, logika matematika yang didasari logika murni tidak banyak melakukan perhitungan-perhitungan kecuali dalam situasi tertentu. Yang dicari dalam logika dan juga logika matematika hanya satu dari dua yaitu benar atau salah, tidak mencari bilangan. Namun, pencarian bilangan mungkin saja ada dalam usaha mendapatkan benar atau salah.

Dalam penerapan modern, logika matematika telah menjadi dasar pengoprasian bahasa mesin komputer. Dalam bahasa mesin, pernyataan-pernyataan diisi oleh kode-kode binari dan operasi logika tidak mencari benar atau salah, namun mencari bilangan binari.

Pernyataan

Dalam mempelajari logika, pernyataan merupakan bagian pertama yang harus dipahami. Oleh karena itu, kita harus memahami dengan baik definisi dari pernyataan. Perhatikan beberapa kalimat berikut:

1) Banyaknya bilangan prima di bawah 10 ada 4.

2) Matahari terbit dari selatan.

3) Bilangan ganjil adalah bilangan yang tidak habis dibagi 2.

Dari contoh di atas, 1), 2) dan 3) adalah pernyataan, sedangkan 4, 5 dan 6 bukan pernyataan. Mengapa demikian?. Secara intuisi, pokoran anda mengatakan bahwa contoh 1 itu benar karna memang hanya ada 4 bilangan prima di bawah 10 yaitu: 2, 3, 5 dan 7. Pada contoh 2, pikiran anda mengatakan salah karena matahari terbit dari timur. Andaikan terbit dari arah yang lain, pikiran anda mengatakan dari barat sebagai tanda besar kiamat. Pada contoh 3, pokiran anda mengatakan ini benar karena 3, 5, 7, dan bilangan ganjil seterusnya tidak habis dibagi 2. Nah, conontoh di atas adalah contoh pernyataan

Definisi Pernyataan:

Pernyataan adalah kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, dan tidak sekaligus benar dan salah

Lambang pernyataan dan Nilai Kebenaran

Dalam matematika, pernyataan dapat dilambangkan dengan huruf kecil seperti a, b, c ,…,p, q, r dan seterusnya. Dalam postingan ini pernyataan akan dilambangkan dengan huruf p, q ,r dan seterusnya.

Nilai kebenaran suatu pernyataan dilambangkan dengan huruf besar B untuk benar dan S untuk salah. Dalam bahasa Inggris, nilai kebenaran suatu pernyataan dilambangkan dengan huruf besar T (true) untuk benar dan F (false) untuk salah.

Untuk memahami definisi pernyataan ,simaklah contoh berikut

     Contoh 1

a)      p: jumlah 8 dan 7 adalah 15. (B)

b)      q: jumlah 6 dan 5 adalah 10. (S)

c)      r: 9 adalah bilangan ganjil. (B)

d)     s: 8 adalah bilangan ganjil. (S)

Kalimat-kalimat pada contoh 1.a dan 1.c bernilai benar saja dan tidak bernilai benar dan salah. Sedangkan kalimat-kalimat pada contoh 1.b dan 1.d bernilai salah saja dan tidak bernilai salah dan benar.

Kalimat Terbuka

Dalam logika, kalimat terbuka tidak mempunyai nilai benar atau salah kecuali jika berubah menjadi pernyataan. Perubahan itu terjadi jika kalimat terbuka mempunyai vaiabel yang diisi oleh nilai atau benda tertentu. Perhatikan beberapa kalimat berikut:

     Contoh 2

a) bilangan itu ganjil.

b) Semoga kamu lekas sembuh.

c) 2x+1 = 9

Pada contoh 2a, yang menjadi variabel adalah kata “bilangan”. Pada contoh tersebut, bilangan yang dimaksud itu tidak jelas. Apakah bilanga itu 2 atau 3 atau yang lainnya sehingga nilai logika kalimat tersebut belum bisa ditentukan benar atau salah. Kalimat tersebut dapat menjadi pernyataan jika variabel bilangan diisi oleh suatu nilai misalnya 3 sehingga kalimatnya menjadi

P: bilangan itu ganjil jika bilangan itu 3. (B)

atau diisi dengan 2

q: bilangan itu ganjil jika bilangan itu 2. (S)

Pada contoh 2b, yang menjadi variabel adalah kata “kamu”. Pada contoh tersebut, kamu yang dimaksud itu tidak jelas. Apakah untuk orang yang sakit atau sehat sehingga nilai logika kalimat tersebut belum bisa ditentukan benar atau salah. Kalimat tersebut dapat menjadi pernyataan yang benar jika diucapkan oleh orang yang sehat (atau sakit) pada orang yang sakit.

Dan dapat menjadi pernyataan yang salah jika diucapkan oleh orang yang sakit pada orang yang sehat…hehehe.

Pada contoh 2c, yang menjadi variabel adalah x. Pada contoh tersebut, x yang dimaksud tidak jelas. Apakah x = 4 atau x = 10 atau yang lainnya sehingga nilai logika kalimat tersebut belum bisa ditentukan benar atau salah. Kalimat tersebut dapat menjadi pernyataan jika variabel x diisi oleh suatu nilai misalnya 4 sehingga kalimatnya menjadi

P: 2x+1 = 9 jika x = 4. (B)

atau diisi dengan 10

q: 2x+1 = 9 jika x = 10. (S)

 

Definisi Kalimat terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel atau peubah, sehingga belum dapat ditentukan benar atau salahnya

Ingkaran atau negasi

Ingkaran atau negasi suatu pernyataan p dinotasikan dengan ~p ( dibaca: negasi p atau ingkaran p). Ingkaran bersifat menyangkal atau membalikkan nilai logika (nilai kebenaran) suatu pernyataan. Jika pernyataan p bernilai benar maka ingkarannya bernilai salah dan jika pernyataan p bernilai salah maka ingkarannya bernilai benar.

Tabel logika (tabel kebenaran) ingkaran versi Indonesia

p	~p
B	S
S	B

Tabel logika ingkaran versi Inggris

p	~p
T	F
F	T

Keterangan:

T (true) = benar , F (false) = salah.

Tabel logika ingkaran versi ilmu komputer

p	~p
1	0
0	1

Keterangan:

1 = ada arus listrik (on), 0 = tak ada arus listrik (off).

Suatu kalimat ingkaran dapat dibuat dengan menambahkan kata “tidak”, “tidak benar”, atau “bukan” pada pernyataan asalnya.

Contoh

a)

P: hari ini cerah (tergantung situasi)

~p: hari ini tidak cerah

b)

P: satu hari terdiri dari 12 jam (S)

~p: satu hari tidak terdiri dari 12 jam (B)

Atau

~p: satu hari bukan terdiri dari 12 jam

Bisa juga

~p: tidak benar satu hari terdiri dari 12 jam (B)

c)

p: 2 adalah bilangan genap (B)

~p: 2 bukan bilangan genap (S)

Jika pernyataan asalnya adalah sebuah kalimat matematika yang memuat tanda “=”, maka ingkarannya ganti dengan tanda “≠”.

Contoh

a)

P: 4 +6 =10 (B)

~p: 4 +6 ≠10 (S)

b)

P: 4 - 6 =10 (S)

~p: 4 - 6 ≠10 (B)

Jika pernyataan asalnya adalah sebuah kalimat matematika yang memuat tanda “<”, maka ingkarannya ganti dengan tanda “≥”.

Contoh

a)

P: 4 < 6 (B)

~p: 4 ≥ 6 (S)

b)

P: 6 < 4 (S)

~p: 6 ≥ 4 (B)

Jika pernyataan asalnya adalah sebuah kalimat matematika yang memuat tanda “>”, maka ingkarannya ganti dengan tanda “≤”.

Contoh

a)

P: 6>4 (B)

~p: 6 ≤ 4 (S)

b)

P: 4> 6 (S)

~p: 4 ≤ 6 (B)

Jika pernyataan asalnya adalah sebuah kalimat matematika yang memuat tanda “≤”, maka ingkarannya ganti dengan tanda “>”.

Contoh

a)

P: 4 ≤ 6 (B)

~p: 4 > 6 (S)

b)

P: 6 ≤ 4 (S)

~p: 6 > 4 (B)

Jika pernyataan asalnya adalah sebuah kalimat matematika yang memuat tanda “≥”, maka ingkarannya ganti dengan tanda “<”.

Contoh

a)

P: 6 ≥ 4 (B)

~p: 6 < 4 (S)

b)

P: 4 ≥ 6 (S)

~p: 4 < 6 (B)

Contoh Ingkaran versi ilmu komputer

p:11001010

~p:00110101