Minggu, 21 Januari 2024

Pertidaksamaan Linear

Pertidaksamaan adalah kalimat terbuka yang memuat tanda "<, <=, >, >=, atau #", sedangkan pertidaksamaan linear adalah suatu pertidaksamaan yang mempunyai variabel dengan pangkatnya satu

a. Pertidaksamaan linear satu variabel

Contoh:

1) 2x+100>0. variabel: x

2) 2t≤ 10. variabel: t

b. Pertidaksamaan linear dua variabel

Contoh:

1) x+3y<9...variabel: x dan y

2) 2p>q+15...variabel: p dan q

Dalam postingan ini akan dibahas pertidaksamaan linear satu variabel saja.

Bentuk umum pertidaksamaan linear satu variabel adalah

$ax+b>0$,

$ax + b >=0$,

$ax + b < 0$,

$ax + b ≤ 0$,

atau

$ax + b≠0$

dengan a≠0 dan a, b anggota bilangan real

Cara menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel hampir sama dengan mencari himpunan penyelesaian persamaan linear satu variabel, yaitu mencari nilai untuk variabelnya agar kalimat terbuka tersebut menjadi kalimat tertutup yang bernilai benar.

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan harus ditulis dalam bentuk interval atau selang. Beberapa bentuk atau jenis interval disajikan sebagai berikut.

Tanda bulatan berisi pada batas interval berarti batas tersebut termasuk dalam interval. Tanda bulatan kosong pada batas interval berarti batas tersebut tidak termasuk dalam interval.

Beberapa sifat yang perlu diperhatikan dalam menyelesaikan pertidaksamaan adalah sebagai berikut

Sifat 1

Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika pada ruas kiri dan kanan ditambah atau dikurang dengan bilangan negatif atau bilangan positif yang sama.

Contoh

$2x+6>-x-7$

$2x>-x-7-6$... kedua ruas dikurangi 6 tanda pertidaksamaan tetap

$2x+x>-13$... kedua ruas ditambah $x$ tanda pertidaksamaan tetap

Sifat 2

Tanda pertidaksamaan tidak berubah jika pada ruas kiri dan kanan dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama.

Contoh

$2x<1$

$6x<3$... kedua ruas dikali 3 tanda pertidaksamaan tetap

$x<\frac{3}{6}$... kedua ruas dibagi 6 tanda pertidaksamaan tetap

Sifat 3

Tanda pertidaksamaan berubah atau dibalik jika pada ruas kiri dan kanan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama.

Contoh

$-2x<8$

$x>-4$... kedua ruas dibagi -2 tanda pertidaksamaan berubah.

Contoh soal dan pembahasan

Tentukan himpunan penyelesaian beberapa pertidaksamaan berikut

a. $3x+4<=2x+5$

b. $-4x-2>5-x$

c. $\frac{x-2}{3}+4x<\frac{x}{2}-\frac{x+4}{5}$

d. $5x-4<6x+5<5x+10$

e. $2x-9<=3-x<=2x+17$

Penyelesaian

a. $3x+4<=2x+5$

$3x+4-4<=2x+5-4$..kedua ruas dikurangi 4

$3x-2x<=2x-2x+1$..kedua ruas dikurangi $2x$

$x<=1$..

Hp=${x<=1 | x elemen R}$

b. $-4x-2>5-x$

$-4x-2+2>5+2-x$..kedua ruas ditambah 2

$-4x>7-x$..kedua ruas ditambah 2

$-4x+x>7-x+x$..kedua ruas ditambah $x$

$-3x>7$

$x<-7/3$..kedua ruas dibagi -3

Hp=${x>\frac{7}{5} | x elemen R}$

c. $\frac{x-2}{3}+4x<\frac{x}{2}-\frac{x+4}{5}$

Kalikan semua suku dengan KPK dari 3, 2 dan 5 yaitu 30

$30\frac{x-2}{3}+30×4x<30\frac{x}{2}-30\frac{x+4}{5}$

$10(x-2)+120x<15x-6(x+4)$

$10x-20+120x<15x-6x-24$

$130x-20<9x-24$

$130x-20+20<9x-24+20$... kedua ruas ditambah 20

$130x<9x-4$

$130x-9x<9x-9x-4$... kedua ruas dikurangi 9x

$121x<-4$

$x<-\frac{4}{121}$... Kedua ruas dibagi 121

Hp=${x<-\frac{4}{121} | x elemen R}$

d. $5x-4<6x+5<5x+10$

Koefisien x pada ruas tengah yaitu 6 lebih besar dari koefisien x pada ruas kiri dan kanan yaitu 5. Dengan ini kita bisa langsung mengurangi ketiga ruas dengan 5x

$5x-5x-4<6x-5x+5<5x-5x+10$

$-4<x+5<10$

Kurangi ketiga ruas dengan 5

$-4-5<x+5-5<10-5$

$-9<x<5$

Hp=${-9x<5 | x elemen R}$

e. $2x-9<=3-x<=2x+17$

Koefisien x pada ruas tengah lebih kecil dari koefisien x pada ruas kiri dan kanan maka penyelesaian harus dikerjakan satu satu

Pertidaksamaan pertama

$2x-9<=3-x$

$2x+x-9<=3-x+x$

$3x-9<=3$