Minggu, 10 Juni 2018

Permutasi dari Beberapa Unsur yang Sama

Tip: Jika rumus tidak jelas pada tampilan mobile/hape, mintalah situs desktop/web pada browser Anda

Misalkan dicari banyak permutasi tiga huruf yang diambil dari huruf-huruf $C,P,P$. Perhatikan bahwa unsur yang tersedia ada tiga huruf dan terdapat dua unsur yang sama yaitu huruf $P$. banyaknya permutasi yang mengandung beberapa unsur yang sama dapat ditentukan melalui pendekatan permutasi unsur-unsur berbeda, yaitu dengan membubuhkan indeks 1 dan 2 pada huruf $P$.

$CP_1P_2$, $CP_2P_1$, $P_1CP_2$, $P_2CP_1$, $P_1P_2C$, $P_2P_1C$

Permutasi di atas dapat dibuat beberapa kelompok ( dalam kasus ini tiga kelompok), dan tiap kelompok akan memuat permutasi yang sama jika indeksnya dibuang.
• Kelompok $CP_1P_2$ dan $CP_2P_1$ menjadi $CPP$
• Kelompok $P_1CP_2$ dan $P_2CP_1$, menjadi $PCP$
• Kelompok $P_1P_2C$ dan $P_2P_1C$ menjadi $PPC$

Jadi , banyak permutasi 3 unsur yang memuat 2 unsur yang sama dapat ditentukan dengan hubungan

Selanjutnya

Banyaknya permutasi $n$ unsur yang memuat $k$ unsur yang sama $( k<=n )$, bisa dihitung dengan rumus

Banyaknya permutasi $n$ unsur yang memuat $k$ unsur yang sama dan $l$ unsur yang sama $( k+l<=n )$, bisa dihitung dengan rumus

Banyakmya permutasi $n$ unsur yang memuat $k$ unsur yang sama, $l$ unsur yang sama dan $m$ unsur yang sama $( k+l+m<=n )$, bisa dihitung dengan rumus

Contoh 1. Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf J,A,B,A,R,

Jawab:
Banyak unsur $n=5$, banyak unsur yang sama $k = 2$ (huruf A).

Jadi, ada 60 susunan.

Contoh 2.
Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf N, U, S, A, N, T, A, R, A

Jawab:
Banyak unsur $n=9$, banyak unsur yang sama $k = 2$ ( huruf N) dan $l=3$ (huruf A).

Jadi, ada 30240 susunan.

Contoh 3
Berapa banyak susunan huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf B, E, R, G, E, L, E, G, A, R

Jawab:
Banyak unsur $n=10$, banyak unsur yang sama $k = 3$ ( huruf E), $l=2$ (huruf R) dan $m=2$ (huruf G) .