Perkalian Matriks dengan Matriks dan Bilangan Real

Perkalian matriks ada dua macam yaitu perkalian matriks dengan matriks dan perkalian matriks dengan bilangan riel atau skalar, perkalian matriks dengan bilangan real mudah dilakukan karena tidak ada syarat tertentu, lihat di bagian A.
Perkalian matriks dengan matriks bisa operasikan jika memenuhi syarat perkalian matriks, jika tidak memenuhi syarat perkalian matriks maka tidak bisa dioperasikan, lihat di bagian B.

Untuk cara menghitung perkalian matriks akan berbeda-beda tergantung pada ordo matriksnya oleh karena itu diberikan rumus-rumus matematika perkalian matriks beda ordo serta contoh soal perkalian matriks antara lain: perkalian matriks 2x2, perkalian matriks 2x3, perkalian matriks 2x1, perkalian matriks 3x2 dengan 2x2, perkalian matriks 2x3 dengan 3x2, perkalian matriks 2x3, perkalian matriks 4x4, juga contoh soal perkalian matriks ordo 3x3.

A. Perkalian matriks dengan bilangan real/skalar

Tidak ada syarat apapun untuk perkalian matriks dengan

bilangan real/skalar atau sebaliknya. Cara mengalikan matriks dengan skalar adalah dengan mengalikan semua elemen matriks dengan skalar tersebut.

Secara umum jika A=(a_ij ) dan k adalah skalar maka kA=(ka_ij) .

Contoh

contoh 1a Perkalian matriks dengan skalar

contoh 1b Perkalian matriks dengan skalar

contoh 1c Perkalian matriks dengan skalar

Sifat-sifat perkalian skalar

Untuk bilangan-bilangan real k dan c dan untuk matriks-matriks A dan B yang berordo sama, berlaku:

a. k(cA)=(kc)A
b. k(A+B)=kA+kB (sifat distributif)
c. (k+c)A=kA+cA (sifat distributif)
d. 1.A=A
e. 0.A=0

B. Perkalian matriks dengan matriks

Misalkan terdapat dua buah matriks yaitu matriks A dan matriks B. Syarat perkalian matriks A dengan matriks B adalah

banyak kolom matriks A = banyak baris matriks B.

Sebagai contoh misalnya matriks A_1×2 dan B_2×3 dapat dikalikan karena

banyak kolom matriks A = 2 , Dan banyak baris matriks B = 2.
Baca juga: soal-dan-pembahasan-matriks
Contoh lainnya misalnya diketahui

Maka matriks yang bisa dikalikan dan tidak adalah sebagai berikut:
A×A tidak bisa, A×B bisa, A×C bisa, A×D tidak bisa.
B×A tidak bisa, B×B bisa, B×C bisa, B×D tidak bisa.
C×A tidak bisa, C×B tidak bisa, C×C tidak bisa, C×D bisa.
D×A tidak bisa, D×B tidak bisa, D×C tidak bisa, D×D bisa.

Secara umum jika A_m×n= (a_mn) dan B_n×p=(b_np) maka A_m×nB_n×p=C_m×p

Cara mengalikan matriks A dengan matriks B adalah dengan mengalikan semua baris matriks A dengan semua kolom matriks B. Setiap perkalian baris dan kolom menghasilkan elemen baru pada hasil kali matriks.
Cara mengalikan baris dengan kolom adalah sebagai berikut:
1. Jika baris dan kolom terdiri dari satu elemen, kalikan elemen baris dengan elemen kolom. Hal ini terjadi pada perkalian matriks ordo mx1 dengan 1xp .
2. Jika baris dan kolom terdiri dari dua elemen atau lebih, kalikan elemen pertama baris dengan elemen pertama kolom ditambah kalikan elemen kedua baris dengan elemen kedua kolom dan seterusnya. Hal ini terjadi pada perkalian matriks ordo mxn dengan nxp dengan n bukan 1 .
Berikut ini adalah beberapa rumus perkalian matriks untuk ordo-ordo tertentu.