Vektor Bidang (R^2) dan Vektor Ruang (R^3)

content="vektor, vektor bidang dan ruang, definisi vektor, contoh soal vektor dimensi 2, pengertian vektor, jenis jenis vektor, pengertian vektor pada bidang dan ruang, penjumlahan dan pengurangan vektor, soal operasi vektor, cara menghitung vektor" name=keywords

Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah perpindahan misalnya kecepatan, gaya, percepatan, dll. Sedangkan besaran yang mempunyai nilai dan tidak mempunyai arah perpindahan disebut skalar misalnya massa, suhu, jumlah zat,  dll.

Untuk memahami tentang vektor, lakukanlah kegiatan berikut.
1. Gambarlah sebuah ruas garis pada selembar kertas!
2. Berilah tanda panah pada ujung ruas garis tersebut ini!
3. Sebut titik pangkal ruas garis sebagai titik P dan titik ujungnya sebagai titik Q.

4. Ukurlah panjang ruas garis dengan menggunakan penggaris!


Ruas garis berarah yang kalian gambar pada kegiatan ini mewakili sebuah vektor. Panjang garis yang diukur menggunakan penggaris menunjukkan panjang vektor tersebut. Karena titik pangkal P dan titik ujung Q, maka vektor disebut sebagai vektor $\overrightarrow{PQ}$ .
Panjang vektor  $\overrightarrow{PQ}$ ini dilambangkan dengan |$\overrightarrow{PQ}$|.

Selain cara di atas, sebuah vektor dapat pula ditulis menggunakan:

• huruf kecil yang dicetak tebal.

Seperti a, b, c, dan sebagainya. Misalnya, vektor  $\overrightarrow{PQ}$ di bawah ditulis sebagai vektor a.

Gambar.1

• huruf kecil yang di atas huruf itu dibubuhi tanda panah. 

Seperti  $\vec{a}$, $\vec{b}$ , $\vec{c}$ dan sebagainya. Misalnya vektor  dapat ditulis sebagai vektor

Gambar.2

Penulisan vektor dengan tulisan tangan  menggunakan lambang panah di atas huruf lebih sering digunakan, karena lebih mudah dituliskan dari pada yang dicetak tebal. Namun kebiasaan orang berbeda-beda,  anda bebas memilih cara penulisan vektor yang disukai.

1 Cara Menuliskan Vektor

-Di R2 (dua dimensi)

Vektor bidang dengan titik pangkal  $A(x_{1},y_{1})$ dan titik ujung  $B(x_{2},y_{2})$  dinotasikan dengan  $\overrightarrow{AB}$ dan dapat dituliskan dalam tiga cara yaitu:   

Gambar.3

-vektor kolom

Rumus 1.1

-Pasangan terurut 

Rumus 1.2

-Vektor basis

Rumus 1.3

Dimana:
$i$: vektor satuan dalam bidang yang sejajar sumbu X yaitu i = (1,0)
$j$: vektor satuan dalam bidang yang sejajar sumbu Y yaitu j = (0,1)

Contoh. Tuliskan vektor $\vec{a}$ dengan titik pangkal  A(2,3) dan titik ujung B(5,7) dalam bentuk vektor kolom, pasangan terurut  dan vektor basis

jawab:

-vektor kolom

-Pasangan terurut 

-Vektor basis

-Di R3 (tiga dimensi)

Vektor ruang dengan titik pangkal  $A(x_{1},y_{1},z_{1})$ dan titik ujung $B(x_{2},y_{2},z_{2})$  dinotasikan dengan  $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$ dan dapat dituliskan dalam tiga cara yaitu:

Gambar.4

-vektor kolom

Rumus 1.4

-Pasangan terurut 

Rumus 1.5

-Vektor basis

Rumus 1.6

Dimana:
i: vektor satuan dalam ruang yang sejajar sumbu X yaitu i = (1,0,0)
j: vektor satuan dalam ruang yang sejajar sumbu Y yaitu j = (0,1,0)
k: vektor satuan dalam ruang yang sejajar sumbu Z yaitu k = (0,0,1)

Contoh. Tuliskan vektor  a dengan titik pangkal  A(2,3,6) dan titik ujung  B(5,7,1)  dalam bentuk vektor kolom, Pasangan terurut  dan vektor basis

jawab:

-vektor kolom

-Pasangan terurut 

-Vektor basis

Vektor Posisi

Sekarang, perhatikan sebarang titik $A(a_{1}, a_{2})$ dan titik $B(b_{1}, b_{2})$ pada koordinat Cartesius berikut.

Gambar.5

vektor a mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal $O(0,0)$ ke titik $A(a_{1}, a_{2})$. Oleh karena itu, vektor a ini dapat dituliskan dalam bentuk pasangan terurut $a=(a_{1}, a_{2})$. Adapun vektor b mewakili ruas garis berarah dari titik pangkal $O(0,0)$ ke titik $B(b_{1}, b_{2})$ . Vektor b dapat dituliskan sebagai $b=(b_{1}, b_{2})$. Karena vektor a dan b berawal dari titik pangkal $O(0,0)$, maka kedua vektor tersebut disebut vektor posisi. Sedangkan vektor c bukan vektor posisi. Namun, dalam kenyataannya setiap vektor dapat dinyatakan sebagai vektor posisi.

2 Panjang Vektor

Panjang Vektor Dalam Bidang

Perhatikan gambar 5 di atas, dengan menggunakan rumus jarak, panjang vektor a dapat ditentukan dengan melihat keduanya berawal dari titik $A(x_{1},y_{1})$ dan titik ujung  $B(x_{2},y_{2})$. Dengan menggunakan rumus jarak, panjang vektor a adalah

Rumus 2.1 - Panjang Vektor Dalam bidang

Secara umum untuk vektor $a(a_{1},a_{1})$, panjang Vektor dirumuskan

Rumus 2.2 - Panjang Vektor Dalam bidang

Contoh. Tentukan panjang vektor  a dengan titik pangkal  A(2,3) dan titik ujung B(5,7)

jawab:

vektor  a adalah



panjang vektor  a adalah

Panjang Vektor Dalam Ruang

Perhatikan gambar 4 di atas, dengan menggunakan rumus jarak, panjang vektor a dapat ditentukan dengan melihat keduanya berawal dari titik $A(x_{1},y_{1},z_{1})$ dan titik ujung $B(x_{2},y_{2},z_{2})$. Dengan menggunakan rumus jarak, panjang vektor a adalah

Rumus 2.3 - Panjang Vektor Dalam Ruang

Secara umum untuk vektor $a(a_{1}, a_{2},a_{3})$, panjang Vektor dirumuskan

Rumus 2.4 - Panjang Vektor Dalam Ruang

Contoh. Tentukan panjang vektor  dengan titik pangkal  A(2,3,6) dan titik ujung  B(5,7,1)

jawab:
vektor  a adalah

panjang vektor  a adalah

3 Vektor Satuan

Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan, biasanya dilambangkan dengan e. Cara membuat vektor satuan dari vektor  a adalah dengan membagi vektor  a oleh panjangnya sendiri, secara matematis dirumuskan dengan

Rumus 3.1 - vektor satuan

Vektor satuan dari vektor basis yang saling tegak lurus

- Pada vektor bidang

Gambar.7

i = (1,0) adalah vektor satuan dalam bidang yang sejajar sumbu X.
j = (0,1) adalah vektor satuan dalam bidang yang sejajar sumbu Y.

- Pada vektor ruang

Gambar.8

 i = (1,0,0) vektor satuan dalam bidang yang sejajar sumbu X.
 j = (0,1,0) vektor satuan dalam bidang yang sejajar sumbu Y.
 k = (0,0,1) vektor satuan dalam bidang yang sejajar sumbu Z.

Contoh . Tentukan vektor satuan dari 1)  a = 6i+8j    2) b = 4i+4j+2k

Jawab:

1) panjang vektor a

     vektor satuannya

2)  panjang vektor b

     vektor satuannya

 

4 Operasi vektor Secara analitik  (aljabar)

Pada vektor bidang

Misalkan  a = (a1, a2), b = (b1, b2), k bilangan real

Maka      a + b = (a1 + b1, a2 + b2)

     ka  = (ka1, ka2)

pada vektor ruang

Misalkan  a = (a1, a2, a3),  b = (b1, b2, b3), k bilangan real

Maka     a  + b  = (a1 + b1, a2 + b2, a3 +  b3)

     ka = (k a1, k a2, k a3)

Berikut ini adalah sifat-sifat  penjumlahan vektor berlaku pada vektor bidang dan vektor ruang.

Misalkan , a dan b adalah vektor-vektor, maka

1.      Komutatif  : a + b  =  b + a
2.      Assosiatif : (a + b ) + c = a+(b+c)
3.  Ada unsur identitas yaitu 0= (0, 0) atau 0 = (0, 0, 0) yang disebut vektor nol sehingga 
  a+ 0 =  0+ a = a
4.  Ada vektor -a sehingga a +(-a) = 0

5 Operasi vektor Secara Geometri

Aturan segitiga

Pada penjumlahan vektor dengan aturan segitiga , ujung vektor a harus berimpit dengan pangkal  vektor b.

Gambar.9

Untuk pengurangan

Gambar.10

Aturan jajaran genjang

Pada penjumlahan vektor dengan aturan jajaran genjang, pangkal vektor a harus berimpit dengan pangkal vektor b.

Gambar.11

Untuk pengurangan

Gambar.12

Aturan polygon

Aturan polygon digunakan untuk penjumlahan lebih dari dua vektor. Ujung vektor pertama harus berimpit dengan pangkal vektor kedua, ujung vektor kedua harus berimpit dengan pangkal vektor ketiga, dan seterusnya.

Gambar.13

6 Pembagian ruas garis dalam bentuk vektor

Perhatikan gambar berikut

Gambar.14

Vektor  dan  adalah dua vektor yang diketahui sedangkan  tidak diketahui. Disisi lain titik C diketahui memagi ruas garis AB dengan perbandingan m:n yang diketahui. Dengan memanfaatkan perbandingan yang diketahui ini kita bisa menentukan vektor c yaitu sbb:

Rumus 6.1 - Pembagian ruas garis bentuk vektor

Rumus ini berlaku untuk vektor bidang dan ruang.
Contoh. Tentukan vektor c pada gambar di bawah

gambar.15

Jawab:

Pembagian ruas garis dalam bentuk koordinat

Rumus pembagian ruas garis dapat pula dinyatakan dalam bentuk koordinat. Untuk vektor ruang, misalkan vektor posisi titik A, B, C berturut-turut adalah

Dengan menukarkan a, b, c pada rumus 6.1 didapatkan titik koordinat C pada ruang:

Rumus 6.2 - Pembagian ruas garis bentuk koordinat R3

Contoh. Diketahui titik A(2, 3, -1) dan B(7, -2, 9). Titik C membagi ruas garis AB dengan perbandingan 1:4. Carilah koordinat titik C

Jawab:

Jadi, koordinat titik C adalah (3, 2, 1).

Untuk vektor bidang , yang diperlukan hanya koordinat x dan y saja sehingga titik koordinat C pada bidang

Rumus 6.3 - Pembagian ruas garis bentuk koordinat R2

Contoh. Diketahui titik P(2, 3, ) dan Q(7, 9). Titik R membagi ruas garis PQ dengan perbandingan 3:4. Carilah koordinat titik R

Jawab:

Jadi, koordinat titik R adalah (29/7, 39/7).

7 Perkalian Titik (dot product)

Perkalian titik  atau dot product sering disebut juga perkalian skalar karena menghasilkan sebuah skalar, bukan vektor. Misalkan  a dan b adalah vektor-vektor bidang atau ruang, maka perkalian titik antara  a dan b  didefinisikan dengan

Rumus 7.1

Dengan  𝞠 (teta) adalah sudut terkecil antara a dan b. Penerapan Rumus 8.1 (definisi) ini pada vektor basis dalam ruang dan atau bidang menghasilkan

Rumus 7.2

Perkalian Titik dalam bentuk komponen pada Vektor Bidang

Misalkan a = a₁i+a₂j dan b = b₁i+b₂j  adalah vektor-vektor bidang, maka dengan mengunakan rumus 8.2 perkalian titik antara a dan b dalam bentuk komponen adalah

Rumus 7.3

Cosinus arah vektor bidang

Misalkan a = a₁i+a₂j membuat sudut  𝛼 dan 𝛽 masing-masing terhadap sumbu positif x, y. Dengan rumus 8.1 diperoleh

Didapat cosinus arah a yaitu

Rumus 7.4

Perkalian Titik dalam bentuk komponen pada Vektor Ruang

Misalkan  a = a₁i + a₂j + a₃k dan b = b₁i + b₂j + b₃k adalah vektor-vektor ruang, maka perkalian titik antara a dan b maka dengan mengunakan rumus 7.2 perkalian titik antara a dan b dalam bentuk komponen  adalah

Rumus 7.5

Cosinus arah vektor ruang

Misalkan a = a₁i + a₂j + a₃k  membuat sudut  𝛼 , 𝛽 dan 𝛾 masing-masing terhadap sumbu positif x, y, z . Dengan rumus 8.1 diperoleh

Didapat cosinus arah a yaitu

Rumus 7.6

Sudut antara dua vektor

Dari definisi ( rumus 7.1) didapatkan Sudut antara dua vektor bidang atau ruang sbb:

Rumus 7.7

Dan sudut antara dua vektor adalah

Rumus 7.8 - sudut antara dua vektor

Contoh. Diketahui  a = 4i + 4j + 2k dan  a = 2i - 3j + 6k. Tentukan
1) Perkalian skalar a dan b
2) sudut antara a dan b
3) cosinus arah a dan b


Jawab:
1) Perkalian skalar a dan b

2) sudut antara a dan b

3) cosinus arah a dan b
     cosinus arah a

     cosinus arah b

Tanda-tanda perkalian titik

Gambar.16

1. jika 0 ≤ 𝞱 < 90 maka a.b > 0. Dalam hal ini 𝞱 berupa sudut lancip.
2. jika  90 < 𝞱 < 180 maka a.b < 0. Dalam hal ini 𝞱 berupa sudut tumpul.
3. jika 𝞱 = 90 maka a.b = 0. Dalam hal ini a dan b saling tegak lurus (ortogonal).
4. jika 𝞱 = 0 maka a.b = |a||b|. Dalam hal ini a dan b berimpit.
5. jika 𝞱 = 180 maka a.b = -|a||b|. Dalam hal ini a dan b berlawanan arah.

Sifat-sifat perkalian titik

Sifat-sifat berikut berlaku untuk vektor bidang dan ruang.
1.   a.b = b.a
2.   a.(b±c) = a.b ± a.c
3.   m(a.b) = (ma).b = a.(mb) =  (a.b)m  , m sebuah skalar
4.   a.a = |a|²
5.   Jika a.b = 0 dimana a dan b bukan vektor nol maka a tegak lurus b.

8 Proyeksi Ortogonal suatu  vektor pada vektor yang lain

Vektor c adalah proyeksi atau bayangan vektor a pada vektor b (gambar menyusul). Dengan pengandaian sumber cahaya tegak lurus vektor b.

Proyeksi Vektor Ortogonal

Proyeksi vektor ortogonal dari vektor a pada arah vektor b adalah c = |c|e dengan e adalah vektor satuan dari vektor c. karena vektor c searah vektor b maka vektor satuan dari c sama dengan vektor satuan dari b

Rumus 8.1

Untuk proyeksi sebaliknya, misalkan vektor d adalah proyeksi vektor ortogonal dari vektor b pada arah vektor a. Dengan cara yang sama maka diperoleh

Rumus 8.2

Proyeksi Skalar Ortogonal

Proyeksi skalar ortogonal adalah panjang atau besar dari proyeksi vektor ortogonal. Proyeksi skalar ortogonal dari vektor a pada arah vektor b adalah |c| =  |a|cos 𝛉. Dengan mengganti cos 𝛉 oleh rumus 7.7 didapat

Rumus 8.3

Untuk proyeksi sebaliknya, misalkan vektor d adalah proyeksi skalar ortogonal dari vektor b pada arah vektor a. Dengan cara yang sama maka diperoleh

Rumus 8.4

Contoh. Diketahui vektor a = 2i + j dan b = 3i + 4j adalah vektor-vektor basis di R2 . Carilah

1)      Proyeksi vektor ortogonal dari vektor a pada arah vektor b
2)      Proyeksi vektor ortogonal dari vektor b pada arah vektor a
3)      Proyeksi skalar ortogonal dari vektor a pada arah vektor b
4)      Proyeksi skalar ortogonal dari vektor b pada arah vektor a

Jawab:
Diketahui a.b = 10, |a| = √5, |b| = 5
1)      Proyeksi vektor ortogonal dari vektor a pada arah vektor b

2)      Proyeksi vektor ortogonal dari vektor b pada arah vektor a

3)      Proyeksi skalar ortogonal dari vektor a pada arah vektor b

         Hasil ini sama dengan menggunakan rumus panjang vektor untuk vekto c

4)      Proyeksi skalar ortogonal dari vektor b pada arah vektor a

         Hasil ini sama dengan menggunakan rumus panjang vektor untuk vekto d

9 Perkalian Silang (cross product)

Perkalian silang atau cross product disebut juga perkalian vektor karena hasilnya adalah sebuah vektor, bukan skalar. Perkalian silang berlaku pada vektor ruang namun dalam penerapannya bisa juga diterapkan pada vektor bidang. Perkalian silang antara a dan b didefinisikan dengan

Rumus 9.1

Dengan 𝜃 adalah sudut terkecil antara a dan b, dan n  adalah vektor normal satuan terhadap a dan b. Jika a dan b diganti vektor basis maka vektor normal satuan n adalah sbb:

Gambar.17 (kurang tanda siku-siku)

Rumus 9.2

Penerapan rumus 9.2 pada rumus 9.1 menghasilkan

Rumus 9.3

Perkaliang silang dalam Bentuk Komponen

Sekarang misalkan  a dan  b  adalah vektor-vektor ruang, dengan menggunakan rumus 9.3 maka perkalian silang antara a dan b adalah

Rumus 9.4

Bentuk terakhir ini adalah penulisan hasil perkalian silang dalam bentuk determinan 3×3.

Besar  perkalian silang

Besar suatu perkalian silang ditentukan sbb:

Rumus 9.5

Lalu, apakah artinya rumus 9.5 secara geometri ?. Untuk itu perhatikan jajaran genjang yang dibentuk oleh vektor a dan b.

Gambar 18

Luas jajaran genjang tersebut adalah

Dari ilustrasi ini dapat disimpulkan bahwa

Contoh. Diketahui a = 4i + 4j + 2k dan  a = 2i - 3j + 6k. Tentukan

1)  perkalian silang a dan b
2)  luas paralelogram (jajaran genjang) dengan sisi a dan b adalah

Jawab:

1)  perkalian silang a dan b

2)  luas paralelogram (jajaran genjang) dengan sisi a dan b adalah

Contoh. Tentukan luas jajaran genjang berikut dengan metode perkalian vektor

Gambar 19

Jawab:

Ambil a = 6i + 0j + 0k dan  b = 0i + 4j + 0k , maka

luas jajaran genjang adalah 24 satuan.

Sifat-sifat perkalian silang

1.  a × b = - b × a
2.  a × (b ± c) = a × b ± a × c
3.  m(a × b) = (ma)× b = a × (mb) =  (a× b)m    , m sebuah skalar
4.  | a × b |  = luas paralelogram (jajaran genjang) dengan sisi a dan b
5.  Jika a × b = 0 dimana a dan b bukan vektor nol maka a sejajar b.