Tak ada dikotomi (pemisahan) ilmu pengetahuan (kecuali ilmu sihir).

Jumat, 18 Oktober 2019

Rumus Determinan Matriks Dan Invers Matriks - Metode Kofaktor

Determinan matriks adalah nilai penentu pada matriks persegi. Sedangkan pada matriks non persegi tidak ada determinan. Determinan matriks $A$ dinotasikan dengan $det(A)$ atau $|A|$. Determinan sebuah matriks dapat dijabarkan berdasarkan ekspansi baris atau kolom dimana semua ekspansi tersebut menghasilkan nilai yang sama. Secara formal determinan matriks $A$ ordo $n×n$ yang dijabarkan berdasarkan ekspansi baris pertama dirumuskan dengan 
Determinan Matriks
Dimana $M_{1j}$ menyatakan determinan matriks minor yaitu matriks yang berordo lebih rendah dari $n×n$ setelah dibuang baris ke-1 kolom ke-j. Untuk matriks $1×1$ didefinisikan determinannya sama dengan elemennya.

Determinan Matriks 2×2 

Misalkan A adalah matriks ordo 2×2 berbentuk 

Determinan Matriks 2×2

maka 
Determinan Matriks 2×2
Dalam bentuk yang lebih mudah, misalkan A adalah matriks ordo 2x2 berbentuk

Determinan Matriks 2×2
Maka $det⁡(A)=ad-bc $

Contoh 1. Tentukan determinan matriks-matriks berikut 
Determinan Matriks 2×2
Jawab 
Determinan Matriks 2×2
Contoh 2. Tentukan nilai x, y dan z dari determinan-determinan berikut 
Determinan Matriks 2×2
Jawab 
Determinan Matriks 2×2

Penerapan Determinan 2×2 pada SPLDV 

Determinan 2x2 digunakan dalam metode Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV). Misalkan SPLDV dalam variabel x dan y. 

Penerapan Determinan 2×2 pada SPLDV
Nilai x dan y ditentukan dengan rumus 

Penerapan Determinan 2×2 pada SPLDV
Contoh. Tentukan himpunan penyelesaian 

Penerapan Determinan 2×2 pada SPLDV
Jawab: 

Penerapan Determinan 2×2 pada SPLDV
Jadi himpunan penyelesaian adalah {(4,7)}.

Determinan Matriks 3×3 

Misalkan $A$ adalah matriks ordo $3x3$ berbentuk 

Determinan Matriks 3×3
maka 
Determinan Matriks 3×3
Contoh 3. Tentukan determinan matriks berikut dengan ekspansi determinan 

Determinan Matriks 3×3
Jawab: 
Determinan Matriks 3×3

Aturan Sarrus 

Ada suatu cara yang mudah untuk menghitung determinan 3x3 yang disebut aturan Sarrus. Perhatikan bagan aturan Sarrus berikut 
Aturan Sarrus
Tanda panah ke kanan bawah menyatakan perkalian elemen-elemen bertanda positif, sedangkan tanda panah ke kanan atas menyatakan perkalian elemen-elemen bertanda negatif. 
Yang mana hasilnya sama dengan yang dihasilkan rumus determinan dengan sedikit perbedaan urutan elemen. Namun itu bukan masalah karena perkalian bersifat komutatif. 

Contoh 4. Tentukan determinan matriks berikut dengan aturan Sarrus 

Aturan Sarrus

Jawab: 

Aturan Sarrus

Penerapan Determinan 3x3 pada SPLTV 

Determinan 3x3 digunakan dalam metode Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV). Misalkan SPLTV dalam variabel x, y dan z. 
Penerapan Determinan 3x3 pada SPLTV

Nilai x, y dan z ditentukan dengan rumus 
Penerapan Determinan 3x3 pada SPLTV

Contoh. Tentukan himpunan penyelesaian 

Penerapan Determinan 3x3 pada SPLTV
Jawab: 
Penerapan Determinan 3x3 pada SPLTV

Jadi himpunan penyelesaian adalah {(10, 6, 2)}. 



Sifat-sifat Determinan 

1. $det (A B) = det(A) det (B)$ 
Contoh. Diketahui 
Sifat-sifat Determinan

 Maka 
Sifat-sifat Determinan


2. $det (A + B) ≠det(A) + det(B)$

Contoh. Diketahui
Sifat-sifat Determinan

Maka
Sifat-sifat Determinan

3. $A_{n×n } ⇒det(k A) = k^{n}det(A)$
Contoh. Diketahui
Sifat-sifat Determinan

Maka
Sifat-sifat Determinan

4. $det (A^t) = det(A)$
Contoh. Diketahui
Sifat-sifat Determinan

 Maka
Sifat-sifat Determinan

5. $det ( A^{-1} ) =\frac{1}{det(A)}$ 
Contoh. Diketahui
Sifat-sifat Determinan

 Maka
Sifat-sifat Determinan

 Invers Matriks 

Invers dari matriks $A$ ditulis $A^{-1}$ dan didefinisikan sebagai berikut
Invers Matriks


 Dimana $Adj(A)$ adalah matriks adjoin yang dihasilkan dari transpos matriks kofaktor $kof(A)$. Jika $det(A) = 0$ maka $A$ tidak punya invers dan $A$ disebut matriks singular.

 Matriks kofaktor 

Matriks kofaktor adalah matriks yang semua elemennya dihasilkan dari rumus kofaktor
Matriks kofaktor


Dimana $M_{ij}$ menyatakan determinan matriks minor yaitu matriks yang berordo lebih rendah dari $n×n$ dari matriks A setelah dibuang baris ke-i kolom ke-j. Berikut adalah kontruksi matriks kofaktor
Matriks kofaktor

Invers matriks 2x2 

Misalkan A adalah matriks ordo 2x2 berbentuk
Invers matriks 2x2
Maka matriks kofaktor dari A adalah
Invers matriks 2x2

Adjoin A diperoleh dengan mentrasposkan matriks kofaktor
Invers matriks 2x2

Sehingga invers matriks ordo 2x2 dapat dituliskan sebagai
Invers matriks 2x2

Dalam bentuk yang lebih mudah, misalkan A adalah matriks ordo 2x2 berbentuk
Invers matriks 2x2

Maka
Invers matriks 2x2

Contoh 5. Tentukan invers matriks-matriks berikut
Invers matriks 2x2
Jawab:
Invers matriks 2x2


c) Matriks C tidak punya invers karena det(C)=0

Penerapan Invers Matriks 2×2 pada Penyelesaian SPLDV 

Sebuah sistem persamaan dua variabel (SPLDV) yang berbentuk
Penerapan Invers Matriks 2×2 pada Penyelesaian SPLDV
Dapat diselesaikan dengan penerapan invers matriks 2x2 setelah sistem persamaan tersebut diubah kedalam bentuk persamaan matriks
Penerapan Invers Matriks 2×2 pada Penyelesaian SPLDV

Solusi persamaan matriks ini diberikan oleh
Penerapan Invers Matriks 2×2 pada Penyelesaian SPLDV
Contoh 6. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) berikut
Penerapan Invers Matriks 2×2 pada Penyelesaian SPLDV

Jawab:
Ubah dahulu sistem persamaan linear dua variabel ke dalam bentuk persamaan matriks
Penerapan Invers Matriks 2×2 pada Penyelesaian SPLDV

Jadi, penyelesaian adalah {(5,7)}

Invers matriks 3x3 

Misalkan A adalah matriks ordo 3x3 berbentuk
Invers matriks 3x3 - metode kofaktor
Maka matriks kofaktor dari A adalah
Invers matriks 3x3 - metode kofaktor

Adjoin A diperoleh dengan mentrasposkan matriks kofaktor
Invers matriks 3x3 - metode kofaktor
Sehingga invers matriks ordo 3x3 dapat dituliskan sebagai
Invers matriks 3x3 - metode kofaktor


Contoh 7. Tentukan invers matriks berikut dengan metode kofaktor
Invers matriks 3x3 - metode kofaktor

Jawab:
Dari contoh 3 diketahui det(A)=11
Menentukan kofaktor-kofaktor
Mencari 
Cara 
 Determinan Matriks minor
Hasil  
Invers matriks 3x3 - metode kofaktor

 Hapus baris 1 kolom 1
Invers matriks 3x3 - metode kofaktor


Invers matriks 3x3 - metode kofaktor

Invers matriks 3x3 - metode kofaktor


Invers matriks 3x3 - metode kofaktor
 Hapus baris 1 kolom 2 
Invers matriks 3x3 - metode kofaktor


Invers matriks 3x3 - metode kofaktor

Invers matriks 3x3 - metode kofaktor


Invers matriks 3x3 - metode kofaktor
 Hapus baris 1 kolom 3
Invers matriks 3x3 - metode kofaktor


Invers matriks 3x3 - metode kofaktor


Invers matriks 3x3 - metode kofaktor

Invers matriks 3x3 - metode kofaktor

 Hapus baris 2 kolom 1 
Invers matriks 3x3 - metode kofaktor


Invers matriks 3x3 - metode kofaktor

 Invers matriks 3x3 - metode kofaktor
Invers matriks 3x3 - metode kofaktor

 Hapus baris 2 kolom 2 
Invers matriks 3x3 - metode kofaktor


Invers matriks 3x3 - metode kofaktor

Invers matriks 3x3 - metode kofaktor


Invers matriks 3x3 - metode kofaktor
 Hapus baris 2 kolom 3 
Invers matriks 3x3 - metode kofaktor


Invers matriks 3x3 - metode kofaktor


Invers matriks 3x3 - metode kofaktor


Invers matriks 3x3 - metode kofaktor
 Hapus baris 3 kolom 1 
Invers matriks 3x3 - metode kofaktor


Invers matriks 3x3 - metode kofaktor


Invers matriks 3x3 - metode kofaktor


Invers matriks 3x3 - metode kofaktor
 Hapus baris 3 kolom 2 
Invers matriks 3x3 - metode kofaktor


Invers matriks 3x3 - metode kofaktor


Invers matriks 3x3 - metode kofaktor

Invers matriks 3x3 - metode kofaktor

 Hapus baris 3 kolom 3 
Invers matriks 3x3 - metode kofaktor


Invers matriks 3x3 - metode kofaktor

Invers matriks 3x3 - metode kofaktor


Matriks kofaktor
Adjoin A adalah
Maka invers A adalah
Baca juga: soal-dan-pembahasan-matriks


Penerapan Invers matriks 3x3 pada Penyelesaian SPLTV 

Sebuah sistem persamaan tiga variabel (SPLTV) yang berbentuk
Penerapan Invers matriks 3x3 pada Penyelesaian SPLTV
Dapat diselesaikan dengan penerapan invers matriks 3x3 setelah sistem persamaan tersebut diubah kedalam bentuk persamaan matriks
Penerapan Invers matriks 3x3 pada Penyelesaian SPLTV
Solusi persamaan matriks ini diberikan oleh
Penerapan Invers matriks 3x3 pada Penyelesaian SPLTV
Contoh 8. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) berikut
Penerapan Invers matriks 3x3 pada Penyelesaian SPLTV
Jawab:
Ubah dahulu sistem persamaan linear tiga variabel ke dalam bentuk persamaan matriks
Penerapan Invers matriks 3x3 pada Penyelesaian SPLTV
Jadi, HP={(2, 1, 9)}

Penyelesaian Persamaan Matriks AX=B 

Suatu persamaan matriks bentuk $AX=B$ cara penyelesaiannya telah disinggung pada penerapan invers matriks 2x2 dan 3x3 pada penyelesaian SPLDV dan SPLTV. Hasilnya berupa matriks kolom yang berisi dua elemen atau tiga elemen.
Secara umum, ordo matriks yang dihasilkan dari persamaan matriks $AX=B$ akan sama dengan ordo matriks $B$ dan penyelesaiannya dirumuskan dengan
Penyelesaian Persamaan Matriks AX=B
Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.
Contoh. Carilah matriks X, Y dan Z dari persamaan-persamaan berikut
1.
Penyelesaian Persamaan Matriks AX=B

2. 
Penyelesaian Persamaan Matriks AX=B
3. 
Penyelesaian Persamaan Matriks AX=B


Pembahasan
1. Matriks X berordo 2x2
invers matriks-Penyelesaian Persamaan Matriks AX=B

2. Matriks Y berordo 3x3
invers matriks-Penyelesaian Persamaan Matriks AX=B

3. Matriks Z berordo 2x3
invers matriks-Penyelesaian Persamaan Matriks AX=B

Sifat-sifat Invers Matriks 

1. $A = B^{-1}⇔B = A^{-1}$
 Contoh. Diketahui
Sifat-sifat Invers Matriks

 Maka
Sifat-sifat Invers Matriks

2. $(A^{-1})^{-1} = A$
Contoh. Diketahui
Sifat-sifat Invers Matriks

 Maka
Sifat-sifat Invers Matriks

3. $(A B )^{-1} = B^{-1}A^{-1}$
 Contoh. Diketahui
Sifat-sifat Invers Matriks
 Maka
Sifat-sifat Invers Matriks

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Tag Terpopuler