Jumat, 18 Oktober 2019

Rumus Determinan Matriks Dan Invers Matriks - Metode Kofaktor

Determinan matriks adalah nilai penentu pada matriks persegi. Sedangkan pada matriks non persegi tidak ada determinan. Determinan matriks $A$ dinotasikan dengan $det(A)$ atau $|A|$. Determinan sebuah matriks dapat dijabarkan berdasarkan ekspansi baris atau kolom dimana semua ekspansi tersebut menghasilkan nilai yang sama. Secara formal determinan matriks $A$ ordo $n×n$ yang dijabarkan berdasarkan ekspansi baris pertama dirumuskan dengan

Dimana $M_{1j}$ menyatakan determinan matriks minor yaitu matriks yang berordo lebih rendah dari $n×n$ setelah dibuang baris ke-1 kolom ke-j. Untuk matriks $1×1$ didefinisikan determinannya sama dengan elemennya.

Determinan Matriks 2×2

Misalkan A adalah matriks ordo 2×2 berbentuk

maka

Dalam bentuk yang lebih mudah, misalkan A adalah matriks ordo 2x2 berbentuk

Maka $det⁡(A)=ad-bc $

Contoh 1. Tentukan determinan matriks-matriks berikut

Jawab

Contoh 2. Tentukan nilai x, y dan z dari determinan-determinan berikut

Jawab

Penerapan Determinan 2×2 pada SPLDV

Determinan 2x2 digunakan dalam metode Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV). Misalkan SPLDV dalam variabel x dan y.

Nilai x dan y ditentukan dengan rumus

Contoh. Tentukan himpunan penyelesaian

Jawab:

Jadi himpunan penyelesaian adalah {(4,7)}.

Determinan Matriks 3×3

Misalkan $A$ adalah matriks ordo $3x3$ berbentuk

maka

Contoh 3. Tentukan determinan matriks berikut dengan ekspansi determinan

Jawab:

Aturan Sarrus

Ada suatu cara yang mudah untuk menghitung determinan 3x3 yang disebut aturan Sarrus. Perhatikan bagan aturan Sarrus berikut

Tanda panah ke kanan bawah menyatakan perkalian elemen-elemen bertanda positif, sedangkan tanda panah ke kanan atas menyatakan perkalian elemen-elemen bertanda negatif.

Yang mana hasilnya sama dengan yang dihasilkan rumus determinan dengan sedikit perbedaan urutan elemen. Namun itu bukan masalah karena perkalian bersifat komutatif.

Contoh 4. Tentukan determinan matriks berikut dengan aturan Sarrus

Jawab:

Penerapan Determinan 3x3 pada SPLTV

Determinan 3x3 digunakan dalam metode Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV). Misalkan SPLTV dalam variabel x, y dan z.

Nilai x, y dan z ditentukan dengan rumus

Contoh. Tentukan himpunan penyelesaian

Jawab:

Jadi himpunan penyelesaian adalah {(10, 6, 2)}.

Sifat-sifat Determinan

1. $det (A B) = det(A) det (B)$

Contoh. Diketahui

Maka

2. $det (A + B) ≠det(A) + det(B)$

Contoh. Diketahui

Maka

3. $A_{n×n } ⇒det(k A) = k^{n}det(A)$
Contoh. Diketahui

Maka

4. $det (A^t) = det(A)$
Contoh. Diketahui

Maka

5. $det ( A^{-1} ) =\frac{1}{det(A)}$
Contoh. Diketahui

Maka

Invers Matriks

Invers dari matriks $A$ ditulis $A^{-1}$ dan didefinisikan sebagai berikut

Dimana $Adj(A)$ adalah matriks adjoin yang dihasilkan dari transpos matriks kofaktor $kof(A)$. Jika $det(A) = 0$ maka $A$ tidak punya invers dan $A$ disebut matriks singular.

Matriks kofaktor

Matriks kofaktor adalah matriks yang semua elemennya dihasilkan dari rumus kofaktor

Dimana $M_{ij}$ menyatakan determinan matriks minor yaitu matriks yang berordo lebih rendah dari $n×n$ dari matriks A setelah dibuang baris ke-i kolom ke-j. Berikut adalah kontruksi matriks kofaktor

Invers matriks 2x2

Misalkan A adalah matriks ordo 2x2 berbentuk

Maka matriks kofaktor dari A adalah

Adjoin A diperoleh dengan mentrasposkan matriks kofaktor

Sehingga invers matriks ordo 2x2 dapat dituliskan sebagai

Dalam bentuk yang lebih mudah, misalkan A adalah matriks ordo 2x2 berbentuk

Maka

Contoh 5. Tentukan invers matriks-matriks berikut

Jawab:

c) Matriks C tidak punya invers karena det(C)=0

Penerapan Invers Matriks 2×2 pada Penyelesaian SPLDV

Sebuah sistem persamaan dua variabel (SPLDV) yang berbentuk

Dapat diselesaikan dengan penerapan invers matriks 2x2 setelah sistem persamaan tersebut diubah kedalam bentuk persamaan matriks

Solusi persamaan matriks ini diberikan oleh

Contoh 6. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV) berikut

Jawab:
Ubah dahulu sistem persamaan linear dua variabel ke dalam bentuk persamaan matriks

Jadi, penyelesaian adalah {(5,7)}

Invers matriks 3x3

Misalkan A adalah matriks ordo 3x3 berbentuk

Maka matriks kofaktor dari A adalah

Adjoin A diperoleh dengan mentrasposkan matriks kofaktor

Sehingga invers matriks ordo 3x3 dapat dituliskan sebagai

Contoh 7. Tentukan invers matriks berikut dengan metode kofaktor

Jawab:
Dari contoh 3 diketahui det(A)=11
Menentukan kofaktor-kofaktor

Mencari	Cara	Determinan Matriks minor	Hasil
	Hapus baris 1 kolom 1
	Hapus baris 1 kolom 2
	Hapus baris 1 kolom 3
	Hapus baris 2 kolom 1
	Hapus baris 2 kolom 2
	Hapus baris 2 kolom 3
	Hapus baris 3 kolom 1
	Hapus baris 3 kolom 2
	Hapus baris 3 kolom 3

Matriks kofaktor

Adjoin A adalah

Maka invers A adalah

Penerapan Invers matriks 3x3 pada Penyelesaian SPLTV

Sebuah sistem persamaan tiga variabel (SPLTV) yang berbentuk

Dapat diselesaikan dengan penerapan invers matriks 3x3 setelah sistem persamaan tersebut diubah kedalam bentuk persamaan matriks

Solusi persamaan matriks ini diberikan oleh

Contoh 8. Tentukan penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) berikut

Jawab:
Ubah dahulu sistem persamaan linear tiga variabel ke dalam bentuk persamaan matriks

Jadi, HP={(2, 1, 9)}

Penyelesaian Persamaan Matriks AX=B

Suatu persamaan matriks bentuk $AX=B$ cara penyelesaiannya telah disinggung pada penerapan invers matriks 2x2 dan 3x3 pada penyelesaian SPLDV dan SPLTV. Hasilnya berupa matriks kolom yang berisi dua elemen atau tiga elemen.
Secara umum, ordo matriks yang dihasilkan dari persamaan matriks $AX=B$ akan sama dengan ordo matriks $B$ dan penyelesaiannya dirumuskan dengan