Senin, 05 November 2018

Pemfaktoran Persamaan Kuadrat x^2 + bx + c = 0

Untuk memfaktorkan persamaan kuadrat dengan a = 1 yang berbentuk 𝒙² + 𝑏𝒙 + 𝑐 = 0, tukarkan b oleh p+q dan c oleh pq sehingga

𝒙² + 𝑏𝒙 + 𝑐 = 𝒙² + (p+q)𝒙 + pq = 0

Untuk selanjutnya persamaan kuadrat 𝒙² + (p+q)𝒙 + pq = 0 dapat difaktorkan menjadi

(𝒙 + p)(𝒙 + p) = 0,

sehingga akar-akarnya adalah 𝒙₁ = -p dan 𝒙₂ = -q. Langkah lengkapnya sbb

Contoh 1. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝒙² + 5𝒙 - 14 = 0

Jawab

𝒙² + 5𝒙 - 14 = 0

𝒙² + (7-2)𝒙 +7(-2) = 0

𝒙² + 7𝒙 - 2𝒙 +7(-2) = 0

𝒙(𝒙 + 7) - 2(𝒙 +7) = 0

(𝒙 - 2)(𝒙 + 7) = 0

⇒(𝒙 - 2) = 0

𝒙₁ = 2

⇒(𝒙 + 7) = 0

𝒙₂ = -7

Terkadang ditemui kesulitan dalam menentukan bilangan p dan q yang tepat jika belum terbiasa dengan metode pemfaktoran. Cara yang mudah untuk mengatasi kesulitan ini adalah dengan melihat pasangan faktor-faktor yang mungkin dari pq dan menyajikannya dalam tabel pencocokan faktor. Tabel ini untuk kasus a = 1 terdiri dari lima kolom yaitu kolom p, kolom q, kolom b = p+q, kolom c = pq ,dan kolom pemeriksa kecocokan. Sedangkan banyak barisnya, maksimum sama dengan banyak pasangan faktor yang mungkin. Sebagai contoh, pada pemfaktoran , b = p+q=5, c = pq = 6 dan pasangan faktor-faktor (p,q) yang mungkin dari pq=6 adalah (1,6), (2,3),(3,2),(6,1). Kemudian periksa faktor-faktor ini mana yang cocok.

1. Kasus b > 0 dan c > 0

Jika b > 0 dan c > 0, ini berarti p+q adalah penjumlahan dua bilangan positif dan pq adalah perkalian dua bilangan positif. maka ambil p>0 dan q>0 yang menjadi faktor c

Contoh 2. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat

Jawab:

a) Pasangan faktor (p,q) yang menghasilkan pq= 9 adalah (1,9),(3,3),(9,1)

Jadi

𝒙² + 6𝒙 +9 = 0

(𝒙 + 3)(𝒙 + 3) = 0

⇒(𝒙 + 3) = 0

𝒙₁ = -3

⇒(𝒙 + 3) = 0

𝒙₂ = -3

Kedua akarnya sama ini disebut akar kembar.

b) Pasangan faktor (p,q) yang menghasilkan pq= 6 adalah (1,6),(2,3),(3,2),(6,1)

Jadi

𝒙² + 5𝒙 + 6 = 0

(𝒙 + 2)(𝒙 + 3) = 0

⇒(𝒙 + 2) = 0

𝒙₁ = -2

⇒(𝒙 + 3) = 0

𝒙₂ = -3

Atau

𝒙² + 5𝒙 + 6 = 0

(𝒙 + 3)(𝒙 + 2) = 0

⇒(𝒙 + 3) = 0

𝒙₁ = -3

⇒(𝒙 + 2) = 0

𝒙₂ = -2

c) Pasangan faktor (p,q) yang menghasilkan pq= 1/8 adalah (1,1/8),(1/2,1/4),(1/4,1/2),(1/8,1)

Jadi

𝒙² + 3𝒙/8 + 1/8 = 0

(𝒙 + 1/2)(𝒙 + 1/4) = 0

⇒(𝒙 + 1/2) = 0

𝒙₁ = -1/2

⇒(𝒙 + 1/4) = 0

𝒙₂ = -1/4

Atau

𝒙² + 3𝒙/8 + 1/8 = 0

(𝒙 + 1/4)(𝒙 + 1/2) = 0

⇒(𝒙 + 1/4) = 0

𝒙₁ = -1/4

⇒(𝒙 + 1/2) = 0

𝒙₂ = -1/2

Adanya dua pasangan akar yang cocok terjadi karena terdapat dua pasangan (p,q) yang memenuhi p+q dan pq secara bersamaan. Dan ini terjadi karena pemfaktoran dilandasi operasi perkalian yang bersifat asosiatif. Dalam kenyataannya, perberbedaan ini hanyalah dalam penandaan akar saja. Jika ingin penandaan akar yang tepat maka harus memakai rumus akar kuadrat atau yang populer disebut rumus abc. Dengan rumus itu, akar-akar pada contoh 2b dan 2c berturut-turut adalah 𝒙₁ = -2, 𝒙₂ = -3 dan 𝒙₁ = -1/4, 𝒙₂ = -1/8.

2. Kasus b < 0 dan c > 0

Jika b < 0 dan c > 0 ini berarti p+q adalah penjumlahan dua bilangan negatif dan pq adalah perkalian dua bilangan negatif. Oleh karena itu maka ambil p < 0 dan q < 0 yang menjadi faktor c.

Contoh 3. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat

a) 𝒙² - 8𝒙 + 16 = 0

b) 𝒙² - 13𝒙 + 30 = 0

Jawab:

a) Pasangan faktor (p,q) yang menghasilkan pq=16 yang keduanya (p dan q) negatif adalah (-1,-16),(-2,-8),(-4,-4),(-8,-2),(-16,-1)

Jadi

𝒙² - 8𝒙 + 16 = 0
(𝒙 - 4)(𝒙 - 4) = 0
⇒(𝒙 - 4) = 0
𝒙₁ = 4
⇒(𝒙 - 4) = 0
𝒙₂ = 4

b) Pasangan faktor (p,q) yang menghasilkan pq=30 yang keduanya (p dan q) negatif adalah (-1,-30),(-2,-15),(-3,-10),(-5,-6),(-6,-5),(-10,-3),(-15,-2),(-30,-1).

Jadi

𝒙² - 13𝒙 + 30 = 0
(𝒙 - 3)(𝒙 - 10) = 0
⇒(𝒙 - 3) = 0
  𝒙₁ = 3
⇒(𝒙 - 10) = 0
  𝒙₂ = 10

Atau

𝒙² - 13𝒙 + 30 = 0
(𝒙 - 10)(𝒙 - 3) = 0
⇒(𝒙 - 10) = 0
  𝒙₁ = 10
⇒(𝒙 - 3) = 0
  𝒙₂ = 3

3. Kasus b>0 dan c < 0

Jika b > 0 dan c < 0, ini berarti p+q adalah penjumlahan bilangan positif dan negatif yang menghasilkan bilangan positif, dan pq adalah perkalian bilangan positif dengan bilangan negatif. Maka ambil p atau q sebagai bilangan negatif dan cari pasangan mana saja yang menyebabkan p+q>0

Contoh 3. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝒙² + 6𝒙 - 16 = 0

Jawab:

Pasangan faktor (p,q) yang menghasilkan pq=-16 adalah (-1,16),(-2,8),(-4,4),(-8,2),(-16,1). Sedangkan pasangan faktor (p,q) yang menyebabkan p+q>0 adalah (-1,16),(-2,8)

Jadi

𝒙² + 6𝒙 - 16 = 0
(𝒙 - 2)(𝒙 + 8) = 0
⇒(𝒙 - 2) = 0
𝒙₁ = 2
⇒(𝒙 + 8) = 0
𝒙₂ = -8

4. Kasus b = 0 dan c < 0

Jika b = 0 dan c < 0, Ini berarti p+q adalah penjumlahan bilangan positif dan negatif yang menghasilkan 0, dan pq adalah perkalian bilangan positif dengan bilangan negatif. Maka ambil p atau q sebagai bilangan negatif dan cari pasangan tetentu yang menyebabkan p+q =0.

Contoh 4. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat

a) 𝒙² - 36 = 0 b) 𝒙² - 1/9 = 0

Jawab:

a) Pasangan faktor (p,q) yang menghasilkan pq=-36 adalah (-1,36),(-2,18),(-3,12),(-4,9),(-6,6),(-9,4),(-12,3),(-18,2),(-36,1). Sedangkan pasangan (p,q) yang menghasilkan p+q =0 adalah (-6,6).

Jadi

𝒙² - 36 = 0
(𝒙 - 6)(𝒙 + 6) = 0
⇒(𝒙 - 6) = 0
𝒙₁ = 6
⇒(𝒙 + 6) = 0
𝒙₂ = -6

b) Pasangan faktor (p,q) yang menghasilkan pq = -1/9 adalah (-1,1/9),(-1/3,1/3),(-1/9,1). Sedangkan pasangan (p,q) yang menghasilkan p+q =0 adalah (-1/3,1/3)

Jadi

𝒙² - 1/9 = 0

(𝒙 - 1/3)(𝒙 + 1/3) = 0

⇒(𝒙 - 1/3) = 0

𝒙₁ = 1/3

⇒(𝒙 + 1/3) = 0

𝒙₂ = -1/3

Jika tidak ditemukan pasangan bilangan bulat atau rasional yang menghasilkan p+q=0, maka ambilah pasangan bilangan irasional yang bisa menghasilkan p+q=0.

Contoh 5. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat 𝒙² - 10 = 0

Jawab:

a. Jika kita cari pasangan bulat (atau rasional) faktor (p,q) yang menghasilkan pq = -10 maka itu adalah (-1,10),(-2,5),(-5,2),(-10,1). Namun semua itu tidak ada yang menghasilkan p+q =0 Dengan memasukan pasangan (-√10, √10) , maka

Jadi

𝒙² - 10 = 0

(𝒙 - √10)(𝒙 + √10) = 0
⇒(𝒙 - √10) = 0
𝒙₁ = √10
⇒(𝒙 + √10) = 0
𝒙₂ = -√10

5. Kasus b<0 dan c<0

Jika b < 0 dan c < 0 ini berarti p+q adalah penjumlahan bilangan positif dan negatif yang menghasilkan bilangan negatif, dan pq adalah perkalian bilangan positif dengan bilangan negatif. Maka ambil p atau q sebagai bilangan negatif, dan cari pasangan mana saja yang menyebabkan p+q<0.

Contoh 6. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat

a) 𝒙² - 2𝒙 - 15 = 0 b) 𝒙² - 29𝒙 - 30 = 0

Jawab:

a) Pasangan (p,q) yang menghasilkan pq=-15 adalah (-1,15),(-3,5),(-5,3),(-15,1). Sedangkan yang menghasilkan p+q < 0 adalah (-5,3), (-15,1)

Jadi

𝒙² - 2𝒙 - 15 = 0
(𝒙 - 5)(𝒙 + 3) = 0
⇒(𝒙 - 5) = 0
𝒙₁ = 5
⇒(𝒙 + 3) = 0
𝒙₂ = -3

b) Pasangan (p,q) yang menghasilkan pq = -30 adalah (-1,30),(-2,15),(-3,10),(-5,6),(-6,5),(-10,3),(-15,2),(-30,1). Sedangkan yang menghasilkan p+q < 0 adalah (-6,5),(-10,3),(-15,2),(-30,1).

Jadi

𝒙² - 29𝒙 - 30 = 0
(𝒙 - 30)(𝒙 + 1) = 0
⇒(𝒙 - 30) = 0
𝒙₁ = 30
⇒(𝒙 + 1) = 0
𝒙₂ = -1

6. Kasus b ≠ 0 dan c = 0

Jika b ≠ 0 dan c = 0 ini berarti p+q adalah penjumlahan bilangan positif atau negatif dengan nol, dan pq adalah perkalian bilangan positif atau negatif tersebut dengan nol. Maka ambil p = b dan q = 0.

Contoh 7. Tentukan akar-akar persamaan kuadrat

a) 𝒙² + 2𝒙 = 0 b) 𝒙² + 29𝒙 = 0

Jawab:

a) Ambil p = 2 dan q = 0.