Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/CombDiacritMarks.js

Tak ada dikotomi (pemisahan) ilmu pengetahuan (kecuali ilmu sihir).

Selasa, 24 April 2018

Sistem Bilangan Kompleks

Pada awalnya bilangan kompleks diperkenalkan karena tidak ada bilangan ril x yang memenuhi persamaan polinom x^2+1=0 atau persamaan yang serupa dengan itu.
        Bilangan kompleks mempunyai bentuk khas z=a+bi dimana a dan b bilangan ril contohnya z=2+3i . a disebut bagian ril, b disebut bagian imajiner dan i adalah satuan imajiner yaitu i=\sqrt{-1}. Dua bilangan kompleks z=a+bi dan z=c+di dikatakan sama jika dan hanya jika a=b dan b=d . Bilangan ril dapat ditinjau sebagai sebuah subhimpunan bilangan kompleks dengan b = 0. Bilangan kompleks z=0+0i bersesuaian dengan bilangan ril 0.
        Nilai mutlak atau modulus dari z didefinisikan dengan |z|=|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}. Sekawan kompleks (complex conjugate) dari z didefinisikan dengan z^*=a-bi, kadang dituliskan dengan z ̅. Himpunan bilangan kompleks menuruti kaidah operasi bilangan ril sehingga himpunan tersebut membentuk sebuah medan. Dalam mengoprasikan bilangan-bilangan kompleks , kita dapat beroperasi seperti aljabar bilangan ril, dengan menggantikan i^2 oleh -1 jika bertemu dengan i^2. Ketaksamaan atau pertidaksamaan tidak didefinisikan untuk bilangan kompleks.
       Dari segi pandangan dasar aksiomatik bilangan kompleks, maka diinginkan untuk memperlakukan sebuah bilangan kompleks sebagai pasangan terorde (a,b) dari bilangan ril a dan b yang menuruti kaidah-kaidah operasional tertentu yang ternyata setara dengan kaidah-kaidah yang di atas. Misalnya didefinisikan (a,b)+(c,d) = (a+c , b+d), (a,b)(c,d) = (ac-bd, ad+bc) dan lain sebainya.

Bentuk polar bilangan kompleks
Jika skala ril dipilih pada dua sumbu yang saling tegak lurus X’OX dan Y’OY ( sumbu x dan sumbu y), maka dapat diletakan sembarang titik dalam bidang yang ditentukan oleh garis-garis ini dengan pasangan terorde dari bilangan (x,y) yang merupakan koordinat siku-siku titik tersebut.





              Karena sebuah bilangan kompleks z=x+iy dapat ditinjau sebagai sebuah pasangan terorde (x,y), maka bilangan seperti itu dapat dinyatakan dengan sebuah titik pada bidang xy yang dinamakan bidang kompleks atau diagram Argand.
             Dengan melihat gambar di atas , maka terlihat bahwa x=ρ \cos⁡φ , y=ρ\sin⁡φ, dimana ρ=|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2 } dan φ adalah amplitude atau argument, adalah sudut yang dibuat oleh OP dengan sumbu x positif OX. Jelaslah bahwa z=x+iy=ρ(\cos⁡φ+i\sin⁡φ ) yang dinamakan bentuk polar bilangan kompleks, dimana ρ dan φ dinamakan koordinat polar. Kadang-kadang \cos⁡φ+i\sin⁡φ untuk kemudahan suka ditulis cisφ sebagai gantinya.
           Jika z_1=x_1+iy_1=ρ_1 (\cos⁡φ_1 +i \sin⁡φ_1) dan z_2=x_2+iy_2=ρ_2 (\cos⁡φ_2+i\sin⁡φ_2) Maka dapat diperlihatkan bahwa

z_1 z_2=ρ_1 ρ_2 (\cos(φ_1+φ_2 )+i \sin(φ_1+φ_2 ) )

\frac{z_1 }{z_2} =\frac{ρ_1}{ρ_2} (\cos⁡(φ_1-φ_2 )+i\sin⁡(φ_1-φ_2 ) )

z^n=ρ^n (\cos ⁡nφ+i\sin ⁡nφ ) dimana n adalah sembarang bilangan ril. Persamaan ini disebut teorema DeMoivre .

Kita dapat menggunakan teorema ini untuk menentukan akar bilangan kompleks. Misalnya jika n adalah bilangan bulat positif, maka:
z^{\frac{1}{n}}=ρ^{\frac{1}{n}}(\cos nφ+i\sin⁡ nφ )^\frac{1}{n}=ρ^{\frac{1}{n}}(\cos⁡(\frac{φ+2kπ}{n})+i\sin⁡(\frac{φ+2kπ}{n})); k=0,1,2,…,n-1

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Tag Terpopuler