Teknik Integral-Substitusi Efektif

Teknik integral substitusi efektif adalah teknik pengintegralan dengan mengubah bentuk fungsi integran yang tidak lazim menjadi bentuk integran yang umum yaitu bentuk-bentuk yang ada dalam rumus-rumus dasar integral. 

Substitusi ini tidak memiliki aturan khusus namun sering dapat ditebak dari bentuk fungsi integrannya mengacu pada rumus-rumus dasar integrasi. Umumnya, substitusi ini berbentuk integral substitusi aljabar.

Banyak langkah substitusi bisa beragam mulai dari satu kali, dua kali, tiga kali, dan mungkin bisa lebih dari itu. Atas dasar itu, substitusi efektif tidak dapat diartikan sebagai substitusi yang sekaligus mengubah fungsi integran menjadi lebih mudah, namun ketepatan dalam menukar variabel.

1. Substitusi Satu kali

Berikut adalah contoh-contoh substitusi satu kali.

Contoh-1. cari $\int{3x\sin(x^2)dx}$

Ambil $x^2=u$-->$2xdx=du$-->$xdx=\frac{du}{2}$

Contoh-2. cari $\int{6x^2\sqrt{4-x^3}dx}$

Ambil $4-x^3=u$-->$-3x^2dx=du$-->$x^2dx=-\frac{du}{3}$

 

Contoh-3. cari $\int{x^5\sqrt{5+x^3}dx}$

Ambil $5+x^3=u^2$-->$x^3=u^2-5$-->$3x^2dx=2udu$

2. Substitusi Dua kali

Berikut adalah contoh substitusi dua kali.

Contoh-4. cari $\int{\frac{\sqrt{5x+x^2}dx}{x^4}}$

Ambil $x=1/u$-->$dx=-u^{-2}du$

Ambil $5u+1=v^2$-->$du=\frac{2vdv}{5}$

 

3. Substitusi Tiga kali

Berikut adalah contoh substitusi tiga kali.

Contoh-5. cari $\int{\frac{\sqrt{-9+16x-x^2}dx}{3(x-1)^4}}$

Ambil $x-1=u$-->$dx=du$

Ambil $u=\frac{1}{v}$-->$du=-\frac{dv}{v^2}$

 

Ambil $2v-7=w^2$-->$dv=wdw$