Tak ada dikotomi (pemisahan) ilmu pengetahuan (kecuali ilmu sihir).

Rabu, 19 Desember 2018

Turunan Fungsi Aljabar

Fungsi aljabar adalah fungsi yang paling sering ditemui dalam permasalahan matematika yang meliputi fungsi rasional, linear, kuadrat, kubik dan seterusnya.
Suatu fungsi aljabar (bidang) adalah fungsi yang persamaannya dapat ditulis sebagai

Fungsi aljabar

Dengan $u_{n}(x)$ adalah suatu polinomial dalam $x$.
Contoh. fungsi kuadrat $y = x^{2} – 10x+25$. Dari fungsi ini maka didapat $n=2, a=0, b=0, c=1, d=-1, e=10, f=-25$, dan $u_{3}(x)=u_{4}(x)=…=u_{n}(x)=0$.

Turunan fungsi aljabar  dapat diperoleh dengan menerapkan definisi turunan fungsi pada fungsi-fungsi aljabar. Suatu fungsi aljabar (begitu juga fungsi transenden misalnya fungsi trigonometri) dapat diturunkan di $x = a $ jika fungsi itu mempunyai turunan di titik tersebut. Suatu fungsi aljabar dapat diturunkan pada suatu selang  jika fungsi itu mempunyai turunan di setiap titik pada selang tersebut.


1. Turunan fungsi konstan

Misalkan $y =f(x) = c$, dengan $c$ sebuah konstanta sembarang maka

Turunan fungsi konstan


Bukti
Turunan fungsi konstan

Contoh
contoh Turunan fungsi konstan


2. Turunan fungsi linear

Misalkan $y =f(x) = ax+b$, dengan a tidak nol dan b sebuah konstanta sembarang maka

Turunan fungsi linear

Bukti
Turunan fungsi linear

Contoh. $y=4x+5⇒\frac{dy}{dx}=4$

3. Turunan fungsi pangkat

Misalkan $y =f(x) = x^n$, dengan n bilangan real, maka

Turunan fungsi pangkat

Bukti
Turunan fungsi pangkat


contoh

Turunan fungsi pangkat



4. Turunan penjumlahan fungsi

Turunan penjumlahan fungsi


Contoh

Turunan penjumlahan fungsi

Dapat disimpulkan bahwa operator d/dx bersifat linear pada penjumlahan fungsi

5. Turunan pengurangan fungsi


Turunan pengurangan fungsi

Contoh

Turunan pengurangan fungsi

Dapat disimpulkan bahwa operator d/dx bersifat linear pada pengurangan fungsi


6. Turunan perkalian (dua) fungsi

Turunan perkalian (dua) fungsi

Contoh

Turunan perkalian (dua) fungsi


Bandingkan hasilnya dengan turunan fungsi $y=x^{4}-16$.

Turunan perkalian fungsi dapat diperluas untuk perkalian lebih dari dua fungsi misalnya  tiga fungsi dengan menerapkan aturan perkalian dua fungsi secara berulang. Misalkan $f=f(x), g=g(x)$, dan $h=h(x)$.
Turunan tiga perkalian fungsi

Contoh

Turunan perkalian fungsi



Bandingkan hasilnya dengan turunan fungsi $y=x^{8}-32x^{4}+256$.


7. Turunan fungsi rasional atau fungsi pembagian



Turunan fungsi rasional


Contoh. Tentukan turunan $\frac{x^{4}-16}{x^{2}+4}$

Turunan fungsi rasional

Bandingkan hasilnya dengan turunan fungsi $y=x^{2}-4$.

8. Turunan fungsi invers

Misalkan $y=f(x)$ dan $x = g(y)$ maka $\frac{dy}{dx}$ dan $\frac{dx}{dy}$ dihubungkan dengan

Turunan fungsi invers

Contoh. Cari $\frac{dy}{dx}$ jika diketahui $x=\sqrt{y}$

Turunan fungsi invers



9. Turunan fungsi parametrik

Jika $x=f(t)$ dan $y=g(t)$ maka
Turunan fungsi parametrik

Contoh. Tentukan dy/dx jika $x=2t-2, y=t^2$
jawab
Turunan fungsi parametrik


10. Aturan rantai / Turunan fungsi suatu fungsi

Jika $y=f(u)$ dimana $u =g(x)$, maka

Aturan rantai


Penerapan aturan rantai pada fungsi pangkat
Misalkan u adalah suatu fungsi x, maka

aturan rantai pada fungsi pangkat


Contoh. Tentukan turunan dari $y=(x^{3}+2x)^{10}$



aturan rantai pada fungsi pangkat


Demikian pula jika $y=f(u), u=g(v) $dan $v=h(x)$, maka

aturan rantai


Contoh. Tentukan turunan dari $y=\sqrt[3]{(x^{3}+2x)^{10}}$

Jawab:

aturan rantai

11. Turunan lebih tinggi

Turunan lebih tinggi disebut juga turunan derajat-n  adalah turunan-turunan berikutnya dari turunan pertama suatu fungsi. Turunan lebih tinggi diperoleh dengan menurunkan fungsi sebanyak derajat yang diperlukan, misalnya diperlukan turunan kedua maka fungsi diturunkan dua kali, diperlukan turunan ketiga maka fungsi diturunkan tiga kali dan seterusnya. Ada beberapa notasi untuk turunan derajat-n yang sering digunakan untuk turunan kedua, ketiga, keempat dan seterusnya sebagai berikut.
Turunan lebih tinggi

Turunan lebih tinggi

Turunan lebih tinggi


Contoh

turunan derajat n

turunan derajat n

turunan derajat n





Meskipun turunan derajat-n  diperoleh dengan menurunkan fungsi sebanyak derajat n yang diperlukan yang mana kita harus menurunkan fungsi sebanyak n kali. Dalam kenyataanya ada beberapa fungsi yang turunan derajat-n-nya dapat diperoleh secara langsung seperti pada fungsi pangkat.

turunan derajat n fungsi pangkat

Dari sini kita punya dua versi turunan derajat ke-n yaitu:

a) Versi permutasi atau faktorial


turunan derajat n fungsi pangkat

Versi ini lebih cocok untuk fungsi yang berpangkat bulat positif.

Contoh
turunan derajat n fungsi pangkat


namun bentuk faktorialnya akan sedikit membingungkan jika n >= m+1 bernilai negatif. Seperti contoh berikut

turunan derajat n fungsi pangkat


Padahal jika diperiksa dengan aturan faktorial yang mengalikan bilangan-bilangan berikutnya dengan selisih 1, maka turunan ke-3-nya bernilai nol begitu juga seterusnya sebagai mana berikut

turunan derajat n fungsi pangkat



Dari sini kita bisa membuat batasan yaitu

turunan derajat n fungsi pangkat positif


Contoh

turunan derajat n fungsi pangkat

b) Versi perkalian


turunan derajat n fungsi pangkat

Versi ini lebih cocok Jika fungsi pangkat mempunyai pangkat real tidak bulat atau bulat negatif atau pecahan (positif dan negatif), dimana turunan ke-n-nya tidak pernah bernilai nol, artinya turunan ke-n-nya selalu ada untuk n berapapun juga.

Contoh.

turunan derajat n fungsi pangkat


Perhatikan, menggunakan versi permutasi juga hasilnya sama namun langkah penyelesaian jadi lebih lama karena harus menjabarkan dulu faktorial real positif tidak bulat atau faktorial negatif atau pecahan yang mungkin agak membingungkan. Seperti berikut
   
turunan derajat n fungsi pangkat

turunan derajat n fungsi pangkat

turunan derajat n fungsi pangkat


Out Of Topic

Dari sini kita bisa mengambil pelajaran bahwa faktorial negatif berbeda dengan faktorial positif. Pada faktorial positif, berapapun besarnya bilangan, operasi perkalian akan berhenti pada bilangan bulat positif terkecil yaitu 1. Sedangkan pada faktorial negatif, berapapun kecilnya bilangan, operasi perkalian tidak akan berhenti karena tidak ada bilangan bulat negatif terkecil.

faktorial negatif,

Begitu juga dengan faktorial pecahan atau faktorial real positif tidak bulat seperti pada contoh di atas, operasi perkalian tidak akan berhenti karena tidak ada bilangan pecahan negatif terkecil yang ditemui.

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Tag Terpopuler