Selasa, 08 Mei 2018

Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan Aritmatika

Suatu barisan $u_1, u_2, …, u_n$ disebut barisan aritmatika jika mempunyai nilai beda yang tetap antara satu suku dengan satu suku berikutnya, yaitu

$u_{n}-u_{n-1}=b$

dengan $b$ bilangan tetap yang disebut beda, yang tidak tergantung pada $n$

Barisan ini mempunyai rumus suku ke-n:

dimana
$u_n$ : suku ke n

$n = 1,2,3, …$

$a$ : suku awal

$b$ : beda

Contoh 1 . carilah suku pertama, beda dan suku ke-6 pada dua barisan berikut

a) $5, 14, 23, …$

b) $4, 0, -4, -8, …$

Jawab:
a) Suku pertama $a = 5$, beda $b = 14-5=9$
Suku ke-6

b) Suku pertama $a = 4$, beda $b = 0-4=-4$
Suku ke-6

Contoh 2. Suku kedua barisan aritmatika adalah 12, sedangkan suku ke-11 adalah 39.

a) Carilah suku pertama dan bedanya

b) Tentukanlah rumus suku ke-n nya

Jawab:

a) Kurangi persamaan (1) oleh persamaan (2), didapat $b=3$.

Tukarkan $b=3$ ke persamaan (1) atau (2), didapat $a=9$.

Jadi, suku pertamanya 9 dan bedanya 3

b) rumus suku ke-n

Contoh 3(penerapan). Sebuah keluarga besar mempunyai 15 orang anak. Anak bungsunya berumur 10 tahun dan anak ke-10 nya berumur 20 tahun.

a) Berapakah umur anak pertamanya?.

b)Tuliskan barisan umur anak-anak kelurga tersebut

Jawab:
a)

Kurangi persamaan (1) oleh persamaan (2), didapat $b=-2$.

Tukarkan $b=-2$ ke persamaan (1) atau (2), didapat $a=38$.

Jadi, anak pertamanya berumur 38 tahun.

b) $38,36,34,32,30,28,26,24,22,20,18,16,14,12,10 $

Suku tengah

Perhatikan barisan-barisan aritmatika berikut. Banyak suku pada tiap barisan ini ganjil.

a) $u_1, u_2, u_3$; banyak suku 3 dan suku tengahnya $u_2$.

Suku tengah $u_2$ dapat dirumuskan dengan bantuan manipulasi aljabar sbb:

$u_2=a+b=\frac{1}{2}(2a+2b) =\frac{1}{2}(a+(a+2b))=\frac{1}{2}(u_1+u_3)$

b) $u_1, u_2, u_3, u_4, u_5$; banyak suku 5 dan suku tengahnya $u_3$. Suku tengah $u_3$ dapat dirumuskan dengan bantuan manipulasi aljabar sbb:

$u_3=a+2b=\frac{1}{2}(2a+4b) =\frac{1}{2}(a+(a+4b))=\frac{1}{2}(u_1+u_5)$

c) $u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_7$; banyak suku 7 dan suku tengahnya $u_4$. Suku tengah $u_4$ dapat dirumuskan dengan bantuan manipulasi aljabar sbb:

$u_4=a+3b=\frac{1}{2}(2a+6b) =\frac{1}{2}(a+(a+6b))=\frac{1}{2}(u_1+u_7)$

Secara umum untuk barisan aritmatika $u_1, … , u_k, … , u_{2k-1}$; banyak suku $2k-1, k>=2, k$ bilangan asli, suku tengahnya $u_k$ dapat dirumuskan sbb:

Contoh 4. Diketahui barisan $3, 6, 9, …,153$. Banyak suku barusan itu ganjil. a)Cari suku tengahnya

b)Suku ke berapakah itu ?

c)Berapa banyak suku barisan itu ?

Jawab:
Diketahui $a = 3, b=3$, suku terakhir $ u_{2k-1}=153$

a)$u_k=\frac{1}{2}(u_1+u_{2k-1})=\frac{1}{2}(3+153)=\frac{156}{2}=78$

b) $u_k=a+b(k-1)=78$

$3+3(k-1)=78$

$3k=78$

$k=\frac{78}{3}=26$

c) Banyak suku barisan itu $2k-1=2.26-1=52-1=51$ suku

Sisipan

Misalkan di antara dua bilangan ril $a$ dan $c$ ($a\neq c$) disisipkan sebanyak $k$ buah bilangan ($k$ bilangan asli), sehingga bilangan-bilangan campuran membentuk barisan aritmatika. Pertanyaannya adalah berapakah beda barisan aritmatika yang terbentuk itu ?. untuk menjawab pertanyaan itu, kita misalkan bedanya $b$. Dengan pemisalan itu, barisan aritmatika yang terbentuk dapat dinyatakan sbb:

Untuk menentukan bedanya, kurangkan suku terakhir oleh suku sebelummya

Contoh 5. Diantara bilangan 3 dan 30 disisipkan enam bilangan sehingga bilangan-bilangan campuran membentuk barisan aritmatika. Cari beda barisan itu

Jawab:
Diketahui $a=3, c=30$ dan $k =6$

Deret aritmatika

Jika barisan $u_1, u_2, …, u_n$ adalah barisan aritmatika maka $u_1 + u_2 +…+u_n$ adalah deret aritmatika. Jumlah $n$ suku pertama barisan aritmatika adalah

$S_n = u_1 + u_2 +u…+ u_n$

Untuk mempermudah mendapatkan hasil $S_n$ dipakai metode berikut