Tip: Jika rumus tidak jelas pada tampilan mobile/hape, mintalah situs desktop/web pada browser Anda
Bilangan akar sering dijumpai dalam perhitungan-perhitungan matematika dan sains yang menyatakan nilai kuantitas tertentu misalnya panjang, luas, volum, berat, dan sebagainya. Namun, bagaimanakah cara atau metode orang-orang terdahulu untuk mendapatkan nilai pendekatan bilangan akar tersebut ?. Pertanyaan yang mirip berlaku untuk kita, bagaimana menentukan akar suatu bilangan jika tidak ada alat bantu modern seperti kalkulator, komputer atau smartphone?. Sebenarnya ada beberapa metode untuk mendekati akar bilangan, namun disini penulis akan menyampaikan metode yang efisien menurut ahli matematika dan sekaligus tertua di dunia matematika. Metode tersebut adalah metode pendekatan akar karya matematikawan Babilonia (± 2700 SM), namun matematikawan tersebut tidak diketahui siapa namanya karena kebanyakan karya-karya matematika dari peradaban Babilonia tidak menyertakan nama penulisnya sehingga metode tersebut sering disebut "Metode pendekatan akar Babilonia" saja.
Bilangan akar sering dijumpai dalam perhitungan-perhitungan matematika dan sains yang menyatakan nilai kuantitas tertentu misalnya panjang, luas, volum, berat, dan sebagainya. Namun, bagaimanakah cara atau metode orang-orang terdahulu untuk mendapatkan nilai pendekatan bilangan akar tersebut ?. Pertanyaan yang mirip berlaku untuk kita, bagaimana menentukan akar suatu bilangan jika tidak ada alat bantu modern seperti kalkulator, komputer atau smartphone?. Sebenarnya ada beberapa metode untuk mendekati akar bilangan, namun disini penulis akan menyampaikan metode yang efisien menurut ahli matematika dan sekaligus tertua di dunia matematika. Metode tersebut adalah metode pendekatan akar karya matematikawan Babilonia (± 2700 SM), namun matematikawan tersebut tidak diketahui siapa namanya karena kebanyakan karya-karya matematika dari peradaban Babilonia tidak menyertakan nama penulisnya sehingga metode tersebut sering disebut "Metode pendekatan akar Babilonia" saja.
Metode pendekatan akar Babilonia aslinya tidak berbentuk rumus langsung, namun berupa langkah-langkah perintah yang secara umum adalah algoritma. Karena perintah-perintah yang jelas dan mudah dimengerti, maka dengan menggunakan aljabar dapat disingkat ke dalam sebuah rumus yang berbentuk barisan rekursi
$u_{n+1}=\frac{1}{2}(u_{n}+\frac{a}{u_{n}})$
dimana:
$n = 1, 2, 3, ....$. Menyatakan banyak langkah pendekatan.
$u_1 = 1$ . Menyatakan langkah pertama harus diisi dengan $1$.
$a : $bilangan yang didekati nilai akarnya.
Contoh . Mendekati $\sqrt{3}$
Diketahui $a = 3$
maka
$u_1 = 1$
$u_{2}=\frac{1}{2}(u_1+\frac{3}{u_1})=\frac{1}{2}(1+\frac{3}{1})=\frac{1}{2}(4) =2$
$u_{3}=\frac{1}{2}(u_2+\frac{3}{u_2})=\frac{1}{2}(2+\frac{3}{2})=\frac{1}{2}(\frac{7}{2}) =\frac{7}{4}$
$u_{4}=\frac{1}{2}(u_3+\frac{3}{u_3})=\frac{1}{2}(\frac{7}{4}+\frac{3}{\frac{7}{4}})=\frac{1}{2}(\frac{97}{28}) =\frac{97}{56}$
$u_{5}=\frac{1}{2}(u_4+\frac{3}{u_4})=\frac{1}{2}(\frac{97}{56}+\frac{3}{\frac{97}{56}})=\frac{1}{2}(\frac{18817}{5432})=\frac{18817}{10864}\\ ⇒u_5≅1,7320508100$
Yaaah...diterusin cape juga. Sampai langkah ke-5 dulu dengan hasil pendekatan (teliti sampai 10 tempat desimal)
$\sqrt{3}≅1,7320508100$.
Sekarang kita bandingkan dengan nilai $\sqrt{3}$ dari kalkulator dengan ketelitian desimal yang sama yaitu
$\sqrt{3}=1,7320508076$.
Terlihat jelas galatnya sangat kecil, artinya nilai pendekatannya sudah sangat bagus. Tentu saja jika ingin pendekatannya lebih bagus harus dilanjutkan beberapa langkah berikutnya, namun jika ketelitian diinginkan sampai 5 desimal atau 6 desimal saja maka sampai langkah ke-5 sudah cukup.
Banyak langkah pendekatan yang diperlukan akan berbeda-beda bagi tiap bilangan $\sqrt{a}$, semakin besar nilai $a$ maka semakin banyak langkah yang diperlukan. Untuk menentukan nilai pendekatan selain banyak langkah pendekatan yang diperlukan, faktor lainnya adalah ketelitian desimal yang diinginkan. Jika ketelitian desimal yang diinginkan tidak terlalu besar, maka banyak langkah pendekatan mungkin bisa dikurangi.
Contoh . Mendekati $\sqrt{3}$
Diketahui $a = 3$
maka
$u_1 = 1$
$u_{2}=\frac{1}{2}(u_1+\frac{3}{u_1})=\frac{1}{2}(1+\frac{3}{1})=\frac{1}{2}(4) =2$
$u_{3}=\frac{1}{2}(u_2+\frac{3}{u_2})=\frac{1}{2}(2+\frac{3}{2})=\frac{1}{2}(\frac{7}{2}) =\frac{7}{4}$
$u_{4}=\frac{1}{2}(u_3+\frac{3}{u_3})=\frac{1}{2}(\frac{7}{4}+\frac{3}{\frac{7}{4}})=\frac{1}{2}(\frac{97}{28}) =\frac{97}{56}$
$u_{5}=\frac{1}{2}(u_4+\frac{3}{u_4})=\frac{1}{2}(\frac{97}{56}+\frac{3}{\frac{97}{56}})=\frac{1}{2}(\frac{18817}{5432})=\frac{18817}{10864}\\ ⇒u_5≅1,7320508100$
Yaaah...diterusin cape juga. Sampai langkah ke-5 dulu dengan hasil pendekatan (teliti sampai 10 tempat desimal)
$\sqrt{3}≅1,7320508100$.
Sekarang kita bandingkan dengan nilai $\sqrt{3}$ dari kalkulator dengan ketelitian desimal yang sama yaitu
$\sqrt{3}=1,7320508076$.
Terlihat jelas galatnya sangat kecil, artinya nilai pendekatannya sudah sangat bagus. Tentu saja jika ingin pendekatannya lebih bagus harus dilanjutkan beberapa langkah berikutnya, namun jika ketelitian diinginkan sampai 5 desimal atau 6 desimal saja maka sampai langkah ke-5 sudah cukup.
Banyak langkah pendekatan yang diperlukan akan berbeda-beda bagi tiap bilangan $\sqrt{a}$, semakin besar nilai $a$ maka semakin banyak langkah yang diperlukan. Untuk menentukan nilai pendekatan selain banyak langkah pendekatan yang diperlukan, faktor lainnya adalah ketelitian desimal yang diinginkan. Jika ketelitian desimal yang diinginkan tidak terlalu besar, maka banyak langkah pendekatan mungkin bisa dikurangi.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar