Operasi Himpunan

1. Irisan Dua Himpunan

a. Pengertian irisan dua himpunan

Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 5} dan B = {2, 3, 5, 6 }, anggota himpunan A yang sekaligus anggota himpunan B adalah {2, 3, 5}. Anggota himpunan A yang sekaligus menjadi anggota himpunan B disebut anggota persekutuan dari A dan B. Selanjutnya, anggota persekutuan dua himpunan disebut irisan dua himpunan, dinotasikan dengan ∩ ( dibaca: irisan atau interseksi). 

Jadi, A∩B = {2, 3, 5}.
Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut.
Irisan (interseksi) dua himpunan adalah suatu himpunan yang
anggotanya merupakan anggota persekutuan dari dua himpunan
tersebut.
Irisan himpunan A dan B dirumuskan sebagai berikut.
A∩B = {x | x∈A dan x∈B}. Garis tegak dibaca "dimana".

b. cara menentukan irisan dua himpunan

1) Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain.

Misalkan A = {1, 3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Irisan dari himpunan A dan B adalah A∩B = {1, 3, 5} = A.
Tampak bahwa A = {1, 3, 5} ⊂ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Lambang ⊂ dibaca subset atau himpunan bagian.
Jika A ⊂ B, semua anggota A menjadi anggota B. Oleh karena itu, anggota persekutuan dari A dan B adalah semua anggota dari A.
Jika A ⊂ B maka A∩B = A.

2) Kedua himpunan sama

Di depan telah kalian pelajari bahwa dua himpunan A dan B dikatakan sama apabila semua anggota A juga menjadi anggota B dan sebaliknya semua anggota B juga menjadi anggota A.
Misalkan A = {a,b,c,d} dan B = {c,a,d,b}.
Irisan dari himpunan A dan B adalah A∩B = {a,b,c,d} = A={c,a,d,b}=B.
Oleh karena itu anggota sekutu dari A dan B adalah semua anggota A atau semua anggota B.
Jika A = B maka A∩B = A atau A∩B = B.

3) Kedua himpunan tidak saling lepas (berpotongan)

Himpunan A dan B dikatakan tidak saling lepas jika A dan B mempunyai sekutu, tetapi masih ada anggota A yang bukan anggota B dan ada anggota B yang bukan anggota A. Gunakan rumus A∩B = {x | x∈A dan x∈B}.
Contoh
A={1, 2, 3} dan B={2, 4, 6} maka x∈A=2 dan x∈B=2 sehingga
A∩B = {2}.

4) Kedua himpunan saling lepas (tidak berpotongan)

Himpunan A dan B dikatakan saling lepas jika A dan B tidak mempunyai sekutu maka A∩B = ∅ (himpunan kosong).
Contoh
A={1, 2, 3} dan B={p, q, r} maka x∈A tidak ada yang sama dengan x∈B sehingga A∩B = ∅ (himpunan kosong).

2. Gabungan Dua Himpunan

a. Pengertian gabungan dua himpunan

Ibu membeli buah-buahan di pasar. Sesampai di rumah, ibu membagi buah-buahan tersebut ke dalam dua buah piring, piring A dan piring B. Piring A berisi buah jeruk, salak, dan apel. Piring B berisi buah pir, apel, dan anggur. Jika isi piring A dan piring B digabungkan, isinya adalah buah jeruk, salak, apel, pir, dan anggur.
Dari uraian tersebut dapat disimpulkan sebagai berikut.
Jika A dan B adalah dua buah himpunan, gabungan himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya terdiri atas anggota-anggota A atau anggota-anggota B. 

Dengan notasi pembentuk himpunan, gabungan A dan B dituliskan sebagai berikut.
A ⋃ B = {x | x A atau x B}
Catatan: A ⋃ B dibaca A gabungan B atau A union B.
Dalam menentukan himpunan gabungan, anggota yang sama dtuliskan satu kali.

b. Menentukan gabungan dua himpunan

1) Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian dari yang
lain.

Misalkan A = {3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}.
Perhatikan bahwa A = {3, 5} B = {1, 2, 3, 4, 5}, sehingga
A ⋃ B = {1, 2, 3, 4, 5} = B. (anggota yang sama dtuliskan satu kali.)
Jika A ⊂ B maka A ⋃ B = B.

2) Kedua himpunan sama

Misalkan P = {1, 3, 5, 7, 11} dan Q = {bilangan ganjil yang
kurang dari 13}.
Dengan mendaftar anggotanya, diperoleh
P = {1, 3, 5, 7, 11}
Q = {1, 3, 5, 7, 11}
P ⋃ Q = {1, 3, 5, 7, 11} = P = Q (anggota yang sama dtuliskan satu kali.)
Jika A = B maka A ⋃ B = A = B.

3) Kedua himpunan tidak saling lepas (berpotongan)

Misalkan A = {1, 3, 5, 7, 9} dan B = {1, 2, 3, 4, 5}, maka
A ⋃ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} (anggota yang sama dtuliskan satu kali.)

4) Kedua himpunan saling lepas (tidak berpotongan)

Misalkan A = {1, 2, 3} dan B = {a, b, c}, maka
A ⋃ B = {1, 2, 3, a, b, c} (anggota yang sama dtuliskan satu kali.)

c. Menentukan banyaknya anggota dari gabungan dua
himpunan

Banyaknya anggota dari gabungan dua himpunan dirumuskan
sebagai berikut.
n(A⋃B) = n(A) + n(B) – n(A∩B)
Rumus di atas dapat digunakan untuk menentukan banyak
anggota dari gabungan dua himpunan. Perhatikan contoh berikut.
Contoh

Diketahui
K = {faktor dari 10} dan
L = {bilangan cacah kurang dari 6}.
Dengan mendaftar anggotanya, tentukan
a. anggota K∩L;

b. anggota K⋃L;

c. n(K⋃L).

Penyelesaian:
K = {faktor dari 10}
= {1, 2, 5, 10}, n(K) = 4
L = {bilangan cacah kurang dari 6}
= {0, 1, 2, 3, 4, 5}, n(L) = 6
a. K∩L = {1, 2, 10}

b. K⋃L = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 10}

c. n(K⋃L) = 7.

n(K⋃L) juga dapat diperoleh dengan rumus berikut.

n(K⋃L) = n(K) + n(L) – n(K∩L)

= 4 + 6 – 3
= 7

3. Selisih (Difference) Dua Himpunan

Selisih (difference) himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A tetapi bukan anggota dari B. Selisih himpunan A dan B dinotasikan dengan A – B atau A\B.
Catatan:
A – B = A\B dibaca: selisih A dan B.
Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan sebagai berikut.
A – B = {x | x∈A, x∉B}
B – A = {x | x∈B, x∉A}

Contoh

Diketahui A = {a, b, c, d} dan B = {a, c, f, g}.
Selisih A dan B adalah 

A – B = {a, b, c, d} – {a, c, f, g} ={b, d}, 

sedangkan selisih B dan A adalah
B – A = {a, c, f, g} – {a, b, c, d} = {f, g}.
Contoh
Diketahui S = {1, 2, 3, ...,10} adalah himpunan semesta. Jika P = {2, 3, 5, 7} dan Q = {1, 3, 5, 7, 9}, tentukan
a. anggota S – P;
b. anggota P – Q;
c. anggota Q – P.
Penyelesaian:
a. S – P = {1, 2, 3, ..., 10} – {2, 3, 5, 7}= {1, 4, 6, 8, 9, 10}
b. P – Q = {2, 3, 5, 7} – {1, 3, 5, 7, 9}= {2}
c. Q – P = {1, 3, 5, 7, 9} – {2, 3, 5, 7}= {1, 9}.

4. Komplemen Suatu Himpunan

ingat kembali pengertian himpunan semesta atau semesta pembicaraan.
Komplemen himpunan A adalah suatu himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota S tetapi bukan anggota A. Komplemen A dinotasikan dengan $A^C$ atau A' ($A^C$ atau A' dibaca: komplemen A).
Dengan notasi pembentuk himpunan dituliskan sebagai berikut.
$A^C$= {x | x∉A dan x∈S}

Contoh
Diketahui S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} adalah himpunan semesta
dan A = {3, 4, 5}. Komplemen himpunan A adalah $A^C$= {1, 2, 6, 7}.

Contoh
Diketahui S = {1, 2, 3, ...,10} adalah himpunan semesta.
Jika A = {1, 2, 3, 4} dan B = {2, 3, 5, 7}, tentukan
a. anggota $A^C$
b. anggota $B^C$
c. anggota $(A∩B)^C$

.
Penyelesaian:
Diketahui
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 10}
A = {1, 2, 3, 4}
B = {2, 3, 5, 7}
a. AC= {5, 6, 7, 8, 9, 10}
b. BC= {1, 4, 6, 8, 9, 10}
c. Untuk menentukan anggota (AB)C, tentukan terlebih dahulu anggota dari AB.
A∩B = {2, 3}

$(A∩B)^C$= {1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

5. Sifat-Sifat Operasi Himpunan

a. Sifat-sifat irisan dan gabungan himpunan
Kalian telah mempelajari bahwa anggota irisan dua himpunan adalah anggota persekutuan himpunan tersebut.
Jika A = {1, 2, 3, 4}
B = {3, 4, 5}
C = {4, 5, 6}
maka A∩B = {3, 4} dan B∩A = {3, 4}.

Tampak bahwa A∩B = B∩A.

Sifat ini disebut sifat komutatif irisan.
Untuk setiap himpunan A dan B berlaku sifat komutatif irisan
AB = BA.
Berdasarkan himpunan A, B, dan C di atas dapat diketahui bahwa
AB = {3, 4} dan BC = {4, 5}, sehingga
(AB)C = {3, 4}{4, 5, 6}= {4}
A (B C) = {1, 2, 3, 4} {4, 5}= {4}
Tampak bahwa (AB)C = A(BC).
Sifat ini disebut sifat asosiatif irisan.
Jika A = {1, 2, 3, 4} maka

AA = {1, 2, 3, 4}{1, 2, 3, 4}= {1, 2, 3, 4}= A

Jadi, A A = A.
Sifat ini dikenal dengan sifat idempotent irisan.
Untuk setiap himpunan A dengan semesta pembicaraan S, berlaku
a. sifat identitas irisan 

AS = A (himpunan S disebut elemen identitas pada irisan)
b. sifat komplemen irisan
AAC= .

Coba buktikan sifat-sifat di atas dengan berdiskusi bersama
temanmu.
Selain sifat-sifat di atas, terdapat hubungan antara irisan dan
gabungan dua himpunan.
Jika himpunan A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5, 6}, dan
C = {3, 6, 7}, diperoleh B C = {3, 4, 5, 6, 7}, AB = {3}, dan
AC = {3}.

Dengan demikian diperoleh
A(B C) = {1, 2, 3}{3, 4, 5, 6, 7}= {3}(AB) (AC) = {3} {3}= {3}

Tampak bahwa A(B C) = (AB) (AC).

Secara umum berlaku sebagai berikut.
Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku
A(B C) = (AB) (AC)
Sifat ini disebut sifat distributif irisan terhadap gabungan.


b. Sifat-sifat selisih himpunan
Di depan kalian telah mengetahui bahwa selisih himpunan A
dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A
tetapi bukan anggota dari B.
Misalkan A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
B = {1, 2, 3, 6}
C = {1, 2, 4, 8}
maka A – A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – {1, 2, 3, 4, 6, 12}
=
A – = {1, 2, 3, 4, 6, 12} –
= {1, 2, 3, 4, 6, 12}
= A.
Tampak bahwa A – A = dan A – = A.
Karena A – = A, maka adalah identitas pada selisih
himpunan.
Sekarang, perhatikan bahwa B


C = {1, 2}, A – B ={4, 12}, dan A – C = {3, 6, 12}, sehingga diperoleh
A – (BC} = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – {1, 2}= {3, 4, 6, 12}
(A – B) (A – C) = {4, 12} {3, 6, 12}= {3, 4, 6, 12}
Tampak bahwa A – (B C) = (A – B) (A – C).
Secara umum berlaku sebagai berikut.
Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku
A – (BC) = (A – B) (A – C)
Sifat ini disebut sifat distributif selisih terhadap irisan.
Dengan cara yang sama seperti di atas, buktikan bahwa pada
selisih dua himpunan berlaku sifat distributif selisih terhadap
gabungan.
Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku
A – (B C) = (A – B)(A – C)
Diskusikan hal ini dengan temanmu.