Himpunan Dasar

Dalam matematika, topik mengenai himpunan adalah bagian pelajaran matematika kelas 7 SMP/MTs. Dalam postingan ini materi tentang himpunan dilengkapi beberapa rumus matematika yang diajarkan dalam pembelajaran matematika pada topik tersebut antara lain: rumus himpunan irisan, gabungan, pengurangan ,dll.

Himpunan adalah kumpulan benda atau objek  (hidup atau mati) yang dapat ditentukan dengan jelas, sehingga dengan tepat dapat diketahui objek yang termasuk himpunan dan objek yang tidak termasuk dalam himpunan tersebut.

Notasi Himpunan

Suatu himpunan biasanya diberi nama atau dilambangkan dengan huruf besar (kapital) A, B, C, ..., Z.

 Anggota Himpunan

Adapun benda atau objek yang termasuk dalam himpunan harus ditulis dalam pasangan kurung kurawal {...}.

Contoh-1

Nyatakan himpunan berikut dengan menggunakan tanda kurung kurawal.

a. A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 5.

b. P adalah himpunan huruf-huruf vokal.

c. Q adalah himpunan tiga burung.

Penyelesaian:

a. A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10 yaitu  1, 2, 3, 4.

Jadi, A = {1, 2, 3, 4}.

b. P adalah himpunan huruf-huruf vokal. Anggota himpunan huruf-huruf vokal adalah a, e, i, o,

dan u, jadi P = {a, e, i, o, u}.

c. Q adalah himpunan tiga burung. Kita bisa memilih merpati, tekukur dan elang.

Jadi, Q = { merpati, tekukur, elang }.

 

Setiap benda atau objek yang berada dalam suatu himpunan disebut anggota atau elemen himpunan itu. Notasi anggota atau elemen adalah ∈. Sedangkan benda atau objek yang tidak termasuk dalam himpunan disebut bukan anggota himpunan, notasinya ∉.

Dari contoh di atas, A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 5, maka bilangan 1, 2, 3, 4 adalah anggota atau elemen himpunan A, ditulis 1∈A, 2∈A, 3∈A, 4∈A. untuk bilangan-bilangan selainnya misalnya 0, 5, 6, dan 7 adalah bukan anggota hinpunan A, maka ditulis 0∉A, 5∉A, 6∉A, 7∉A.

 

Banyak Anggota Himpunan

Banyak anggota suatu himpunan dinyatakan dengan n(lambang himpunan). Jika

A = {1, 2, 3, 4} maka n(A) = banyak anggota himpunan A = 4.

 

Notasi Internasional Beberapa Himpunan

Dalam matematika internasional , beberapa huruf besar secara khusus digunakan sebagai lambang himpunan bilangan tertentu sehingga bentuk fontnya dibuat khusus, di antaranya sebagai berikut:

1. ℕ dipakai untuk lambang himpunan bilangan asli, ℕ = {1, 2, 3, ...}.

2. ℤ dipakai untuk lambang himpunan bilangan bulat, Z={…,-3,-2,-1,0,1,2,3,…}.

3. Q dipakai untuk lambang himpunan bilangan rasional

4. dipakai untuk lambang himpunan bilangan real.

5. P  terkadang untuk lambang himpunan bilangan prima 

6. C  terkadang untuk lambang himpunan bilangan kompleks

 

Notasi Nasional Beberapa Himpunan

 

Di indonesia, beberapa huruf besar juga digunakan sebagai lambang himpunan bilangan tertentu antara lain

1. Huruf A : lambang himpunan bilangan asli, A = {1, 2, 3, 4, ... }

2. Huruf B : lambang himpunan bilangan bulat, B = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}

3. Huruf C : lambang himpunan bilangan cacah, C = {0, 1, 2, 3, ... }

4. Huruf P : lambang himpunan bilangan prima, P = {1, 2, 3, 5, 7, 11, ... }

5. Huru Q : lambang himpunan bilangan rasional, Q ={  a/b; a,b ∈B  dan b≠0}.

dibaca himpunan a/b dimana a dan b anggota himpunan bilangan bulat dan b bukan 0.

 

Menyatakan Suatu Himpunan

Seperti yang dapat ditebak dari pembahasan sebelimnya, suatu himpunan dapat dinyatakan dengan tiga cara sebagai berikut.

1. Dengan kata-kata.

Dengan cara menyebutkan semua syarat/sifat keanggotaannya.

Contoh:

P adalah himpunan bilangan prima antara 10 dan 40, ditulis P = {bilangan prima antara 10 dan 40}.

2. Dengan notasi pembentuk himpunan.

Sama seperti menyatakan himpunan dengan kata-kata, pada cara ini disebutkan semua syarat/sifat keanggotannya. Namun, anggota himpunan dinyatakan dengan suatu peubah. Peubah yang biasa digunakan adalah x atau y.

Contoh:

P : {bilangan prima antara 10 dan 40}.

Dengan notasi pembentuk himpunan, ditulis

P = {10 < x < 40, x ∈ bilangan prima}.

3. Dengan mendaftar anggota-anggotanya.

Dengan cara menyebutkan anggota-anggotanya, menuliskannya dengan menggunakan kurung kurawal, dan anggotaanggotanya dipisahkan dengan tanda koma.

Contoh:

P = {11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37}.

A = {1, 2, 3, 4, 5}.

Himpunan Berhingga dan Himpunan Tak Berhingga

Pada bagian depan telah kalian ketahui bahwa banyaknya anggota himpunan A dinyatakan dengan n(A).

Jika suatu himpunan dinyatakan dengan mendaftar anggota-anggotanya maka kalian dapat menentukan banyaknya anggota himpunan tersebut. Jika A adalah himpunan bilangan prima kurang dari 13 maka A = {2, 3, 5, 7, 11} dengan n(A) = 5. Himpunan A disebut himpunan berhingga, artinya banyaknya anggota A berhingga.

Jika B = {bilangan asli yang habis dibagi 2} maka B = {2, 4, 6, ...}, dengan n(B) = tidak berhingga. Himpunan B disebut himpunan tak berhingga, karena banyaknya anggota B tak berhingga.

Himpunan yang memiliki banyak anggota berhingga disebut himpunan berhingga. Himpunan yang memiliki banyak anggota tak berhingga disebut himpunan tak berhingga.

Contoh

Tentukan banyak anggota dari himpunan-himpunan berikut.

a. P = {1, 3, 5, 7, 9, 11}

b. Q = {0, 1, 2, 3, ..., 10}

c. R = {..., –2, –1, 0, 1, 2, ...}

Penyelesaian:

a. Banyak anggota P adalah 6, ditulis  n(P) = 6.

b. Banyak anggota Q adalah 11, ditulis  n(Q) = 11.

c. Banyak anggota R adalah tidak berhingga atau n(R) = tidak berhingga.

Himpunan Kosong, Nol dan Himpunan Semesta 

 Apakah setiap himpunan pasti mempunyai anggota?

Jika P adalah himpunan persegi yang mempunyai tiga buah sisi maka anggota P tidak ada atau kosong. Himpunan P disebut himpunan kosong (tidak mempunyai anggota), karena jumlah sisi persegi adalah empat.

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, dan dinotasikan dengan {   } atau  ∅.

Jika R = {x | x < 1, x ∈ C} maka R = {0} atau n(R) = 1.

Himpunan R disebut himpunan nol. Anggota himpunan R adalah 0. Jadi, himpunan R bukan merupakan himpunan kosong.

Jika P = {pisang, jeruk, apel, anggur} maka semesta pembicaraan dari himpunan P adalah himpunan S = {buah-buahan}.

Dengan kata lain, S adalah himpunan semesta dari Pmemuat semua anggota himpunan P.

Himpunan semesta atau semesta pembicaraan adalah himpunan yang memuat semua anggota atau objek himpunan yang dibicarakan.

Himpunan semesta (semesta pembicaraan) biasanya dilambangkan dengan S. Sedangkan dalam bahasa Inggris dengan U ,singkatan dari universe (semesta).

Contoh

Tentukan tiga himpunan semesta yang mungkin dari himpunan berikut.

a. {2, 3, 5, 7}

b. {kerbau, sapi, kambing}

Penyelesaian:

a. Misalkan A = {2, 3, 5, 7}, maka himpunan semesta yang mungkin dari himpunan A adalah

S = {bilangan prima} atau

S = {bilangan asli} atau

S = {bilangan cacah}.

b. Himpunan semesta yang mungkin dari {kerbau, sapi, kambing} adalah {binatang}, {binatang berkaki empat}, atau {binatang memamah biak}.

Himpunan Bagian

Agar kalian dapat memahami mengenai himpunan bagian, perhatikan himpunan-himpunan berikut.

A = {1, 2, 3}

B = {4, 5, 6}

C = {1, 2, 3, 4, 6}

Berdasarkan ketiga himpunan di atas, tampak bahwa setiap anggota himpunan A, yaitu 1, 2, 3 juga menjadi anggota himpunan C. Dalam hal ini dikatakan bahwa himpunan A merupakan himpunan bagian dari C, ditulis A⊂C (A subset C) atau C⊃A (C superset A).

Himpunan A merupakan himpunan bagian B, jika setiap anggota A juga menjadi anggota B dan dinotasikan A   B atau B   A.

Sekarang perhatikan himpunan B dan himpunan C.

B = {4, 5, 6}

C = {1, 2, 3, 4, 5}

Tampak bahwa tidak setiap anggota B menjadi anggota C, karena 6 ∉ C. Dikatakan bahwa B bukan merupakan himpunan bagian dari C, ditulis B⊄ C (dibac: B bukan himpunan bagian dari C).

Contoh

Diketahui K = {p, q, r, s}. Tentukan himpunan bagian dari K yang mempunyai

a. satu anggota;

b. dua anggota;

c. tiga anggota;

d. empat anggota.

Penyelesaian:

Dalam menentukan himpunan bagian dari K = {p, q, r,  s} yang mempunyai lebih dari satu anggota dapat digunakan diagram pohon seperti berikut.

a. Himpunan bagian K yang mempunyai satu anggota adalah {p}⊂K; {q}⊂K;  {r}⊂K; dan {s}⊂K.

b. Himpunan bagian K yang mempunyai dua anggota adalah {p, q}⊂K; {p, r}⊂K; {p, s}⊂K; {q, r}⊂K; {q, s}⊂K; dan {r, s}⊂K.

c. Himpunan bagian K yang mempunyai tiga anggota adalah {p, q, r}⊂K; {p, q, s}⊂K; {p, r, s}⊂K; dan {q, r, s}⊂K.

d. Himpunan bagian K yang mempunyai empat anggota adalah {p, q, r, s} = K.

Pada contoh di atas, tampak bahwa himpunan bagian K yang mempunyai 4 anggota adalah {p, q, r, s}. Jadi, {p, q, r, s} = K ⊂  K.

HUBUNGAN ANTAR HIMPUNAN

Diketahui A = {burung, ayam, bebek} dan B = {kucing, anjing, ikan}.

Perhatikan bahwa tidak ada satupun anggota himpunan A yang menjadi anggota himpunan B. Demikian pula sebaliknya, tidak ada satu pun anggota himpunan B yang menjadi anggota himpunan A. 

Dalam hal ini dikatakan bahwa tidak ada anggota persekutuan antara himpunan A dan B. Hubungan antara himpunan A dan B seperti ini disebut himpunan saling lepas atau saling asing.

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas atau saling asing jika kedua himpunan tersebut tidak mempunyai anggota persekutuan.

Selanjutnya, perhatikan kedua himpunan berikut.

K = {1, 2, 3, 4, 5}

L = {2, 3, 5, 7, 11}

Perhatikan bahwa terdapat anggota himpunan K yang juga menjadi anggota himpunan L, yaitu {2, 3, 5}. Dalam hal ini dikatakan bahwa {2, 3, 5} adalah anggota persekutuan dari himpunan K dan L. 

Perhatikan juga bahwa terdapat anggota himpunan K yang tidak menjadi anggota himpunan L, demikian pula sebaliknya. Keadaan dua himpunan seperti ini disebut himpunan tidak saling lepas

(berpotongan).

Dua himpunan A dan B dikatakan tidak saling lepas (berpotongan)

jika A dan B mempunyai anggota persekutuan, tetapi masih ada

anggota A yang bukan anggota B dan ada anggota B yang bukan

anggota A.

Sekarang, perhatikan himpunan A = {t, i, k, a} dan himpunan B = {a, t, i, k}. Ternyata, setiap anggota A termuat dalam B, demikian juga sebaliknya. Dalam hal ini, himpunan A dan B disebut dua himpunan sama, ditulis A = B.

Dua himpunan dikatakan sama, apabila kedua himpunan mempunyai

anggota yang tepat sama.

Jika banyaknya anggota himpunan P = banyaknya anggota himpunan Q, atau n(P) = n(Q) maka P dan Q dikatakan ekuivalen.

Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen jika n(A) = n(B).

OPERASI HIMPUNAN

1. Irisan Dua Himpunan

a. Pengertian irisan dua himpunan

Cobalah kalian ingat kembali tentang anggota persekutuan dari dua himpunan.

Misalkan A = {1,  3, 5, 7 , 9} dan B = {2,  3, 5, 7 }

Anggota himpunan A dan B adalah anggota himpunan A dan sekaligus menjadi anggota himpunan B = {3, 5, 7}.

Anggota himpunan A yang sekaligus menjadi anggota himpunan B disebut anggota persekutuan dari A dan B.

Selanjutnya, anggota persekutuan dua himpunan disebut irisan

dua himpunan, dinotasikan dengan  ∩ (  dibaca: irisan atau

interseksi). Jadi, A∩B = {3, 5, 7}.

Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut.

Irisan (interseksi) dua himpunan adalah suatu himpunan yang

anggotanya merupakan anggota persekutuan dari dua himpunan

tersebut.

Irisan himpunan A dan B dinotasikan sebagai berikut.

A∩B = {x | x∈A dan x∈B}. Garis tegak dibaca "dimana".

b. Menentukan irisan dua himpunan

1) Himpunan yang satu merupakan himpunan bagian yang lain

Misalkan A = {1, 3, 5} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Irisan dari himpunan A dan B adalah A∩B = {1, 3, 5} = A.

Tampak bahwa A = {1, 3, 5}  ⊂ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Jika A ⊂ B, semua anggota A menjadi anggota B. Oleh karena itu, anggota persekutuan dari A dan B adalah semua anggota dari A.

Jika A ⊂ B maka A∩B = A.

2) Kedua himpunan sama

Di depan telah kalian pelajari bahwa dua himpunan A dan B dikatakan sama apabila semua anggota A juga menjadi anggota B dan sebaliknya semua anggota B juga menjadi anggota A. Oleh karena itu anggota sekutu dari A dan B adalah semua anggota A atau semua anggota B.

Jika A = B maka A∩B = A atau A∩B = B.

3) Kedua himpunan tidak saling lepas (berpotongan)

Himpunan A dan B dikatakan tidak saling lepas (berpotongan) jika A dan B mempunyai sekutu, tetapi masih ada anggota A yang bukan anggota B dan ada anggota B yang bukan anggota A.

2. Gabungan Dua Himpunan

a. Pengertian gabungan dua himpunan

Ibu membeli buah-buahan di pasar. Sesampai di rumah, ibu membagi buah-buahan tersebut ke dalam dua buah piring, piring A dan piring B. Piring A berisi buah jeruk, salak, dan apel. Piring B berisi buah pir, apel, dan anggur. Jika isi piring A dan piring B digabungkan, isinya adalah buah jeruk, salak, apel, pir, dan anggur.

selengkapnya lihat operasi himpunan