Induksi Matematika – langkah dan contohnya

Induksi matematika adalah salah satu metode pembuktian teorema, proposisi dan sejenisnya yang berangkat dari masalah-masalah khusus yang digeneralisasi menjadi kesimpulan umum. Pembuktian seperti ini pertama kali ditemukan oleh Blaise Pascal (Matematikawan Perancis, 1623 – 1662) dan Augustus De Morgan (Matematikawan Inggris, 1806 – 1871) menamainya induksi lengkap.

Perhatikanlah jumlah n bilangan asli pertama yang dituliskan dalam notasi sigma.

Dengan menggunakan rumus jumlah deret aritmatika, didapatkan bahwa jumlah n bilangan asli pertama itu dapat ditentukan dengan rumus

Suatu rumus umum yang berlaku untuk tiap n bilangan asli seperti rumus di atas, dapat dibuktikan kebenarannya dengan menggunakan induksi matematika. Adapun langkah-langkah induksi matematika adalah sebagai berikut:

Langkah 1:

Tunjukkan bahwa S(n) benar untuk beberapa nilai pertama n misalnya untuk n=1 atau S(1) benar, n=2 atau S(2) benar, n=3 atau S(3) benar.

Langkah 2:

Tunjukkan bahwa jika S(n) benar untuk n=k maka S(n) juga benar untuk n=k+1, atau jika S(k) benar maka S(k+1) juga benar.

Contoh 1. Buktikan bahwa