Turunan Fungsi

Pertambahan suatu variabel 𝑥 dilambangkan dengan ∆𝑥 adalah perubahan dalam 𝑥 bila 𝑥 membesar atau mengecil dari suatu nilai awal 𝑥 = 𝑥₀ menjadi nilai berikutnya 𝑥 = 𝑥₁ pada jangkauannya, dalam hal ini ∆𝑥 = 𝑥₁ - 𝑥₀.




Bila variabel 𝑥 diberi pertambahan sebesar ∆𝑥, maka suatu fungsi y = f(𝑥) juga akan menerima perubahan dalam y sebesar



Hasil bagi



disebut laju perubahan rata-rata fungsi pada selang 𝑥 = 𝑥₀ dan 𝑥 = 𝑥₁= 𝑥₀ + ∆𝑥.
Turunan
Turunan atau derivative suatu fungsi y = f(𝑥) di titik 𝑥 = 𝑥₀ adalah limit laju perubahan rata-rata fungsi saat ∆𝑥 mendekati nol tetapi tidak nol dan didefinisikan sebagai




Asalkan limitnya ada.

Contoh 1. Cari turunan y = f(𝑥) = 𝑥² +1 pada 𝑥 = 𝑥₀. Hitung nilai turunan pada
a) 𝑥₀ = 2,
b) 𝑥₀ = 3.

Jawab:



a) di 𝑥₀ = 2 nilai turunan adalah 2.2 = 4.
b) di 𝑥₀ = 3 nilai turunan adalah 2.3 = 6


Dalam mencari turunan suatu fungsi, indeks 0 biasanya dihilangkan dan turunan y = f(𝑥) terhadap 𝑥 dituliskan dengan



Beberapa notasi lain yang sering digunakan untuk turunan antara lain



Contoh 2. Cari dy/d𝑥 jika y = 𝑥³ + 𝑥² -5. Berapa nilai dy/d𝑥 di 𝑥 = 4, 𝑥= 0, dan 𝑥 = -1 ?

Jawab:




Notasi untuk dy/d𝑥 di 𝑥 = a bisa ditulis sebagai



jadi


Contoh 3. Cari y’ jika y = (𝑥-1)/(𝑥+1). Berapa nilai y’ di 𝑥 = 0, 𝑥 = 1, dan 𝑥 = -1 ?

Jawab:



y’ di 𝑥 = 0 adalah $y'(0)=\frac{2}{(0+1)^2}=2$
y’ di 𝑥 = 1 adalah $y'(1)=\frac{2}{(1+1)^2}=\frac{1}{2}$
y’ di 𝑥 = -1 tidak ada

Turunan fungsi Aljabar

Suatu fungsi aljabar (bidang) adalah fungsi yang persamaannya dapat ditulis sebagai

Dengan $u_{n}(x)$ adalah suatu polinomial dalam $x$.

Contoh. fungsi kuadrat $y = x^{2} – 10x+25$. Dari fungsi ini maka didapat $n=2, a=0, b=0, c=1, d=-1, e=10, f=-25$, dan $u_{3}(x)=u_{4}(x)=…=u_{n}(x)=0$.

Turunan fungsi aljabar dapat diperoleh dengan menerapkan definisi turunan fungsi pada fungsi-fungsi aljabar. Suatu fungsi aljabar (begitu juga fungsi transenden misalnya fungsi trigonometri) dapat diturunkan di $x = a $ jika fungsi itu mempunyai turunan di titik tersebut. Suatu fungsi aljabar dapat diturunkan pada suatu selang jika fungsi itu mempunyai turunan di setiap titik pada selang tersebut.

1. Turunan fungsi konstan

Misalkan $y =f(x) = c$, dengan $c$ sebuah konstanta sembarang maka



Bukti



Contoh

2. Turunan fungsi linear

Misalkan $y =f(x) = ax+b$, dengan a tidak nol dan b sebuah konstanta sembarang maka

Bukti

Contoh. $y=4x+5⇒\frac{dy}{dx}=4$

3. Turunan fungsi pangkat

Misalkan $y =f(x) = x^n$, dengan n bilangan real, maka

Bukti



contoh

4. Turunan penjumlahan fungsi

Contoh

Dapat disimpulkan bahwa operator d/dx bersifat linear pada penjumlahan fungsi

5. Turunan pengurangan fungsi

Contoh

Dapat disimpulkan bahwa operator d/dx bersifat linear pada pengurangan fungsi

6. Turunan perkalian (dua) fungsi

Contoh



Bandingkan hasilnya dengan turunan fungsi $y=x^{4}-16$.

Turunan perkalian fungsi dapat diperluas untuk perkalian lebih dari dua fungsi misalnya tiga fungsi dengan menerapkan aturan perkalian dua fungsi secara berulang. Misalkan $f=f(x), g=g(x)$, dan $h=h(x)$.

Contoh



Bandingkan hasilnya dengan turunan fungsi $y=x^{8}-32x^{4}+256$.

7. Turunan fungsi rasional atau fungsi pembagian

Contoh. Tentukan turunan $\frac{x^{4}-16}{x^{2}+4}$

Bandingkan hasilnya dengan turunan fungsi $y=x^{2}-4$.

8. Turunan fungsi invers

Misalkan $y=f(x)$ dan $x = g(y)$ maka $\frac{dy}{dx}$ dan $\frac{dx}{dy}$ dihubungkan dengan

Contoh. Cari $\frac{dy}{dx}$ jika diketahui $x=\sqrt{y}$

9. Turunan fungsi parametrik

Jika $x=f(t)$ dan $y=g(t)$ maka

Contoh. Tentukan dy/dx jika $x=2t-2, y=t^2$
jawab

10. Aturan berantai turunan fungsi 

suatu fungsiJika $y=f(u)$ dimana $u =g(x)$, maka



Penerapan aturan berantai pada fungsi pangkat
Misalkan u adalah suatu fungsi x, maka



Contoh. Tentukan turunan dari $y=(x^{3}+2x)^{10}$



Demikian pula jika $y=f(u), u=g(v) $dan $v=h(x)$, maka



Contoh. Tentukan turunan dari $y=\sqrt[3]{(x^{3}+2x)^{10}}$

Jawab: