Processing math: 1%

Tak ada dikotomi (pemisahan) ilmu pengetahuan (kecuali ilmu sihir).

الأربعاء، 9 مايو 2018

Barisan dan Deret Geometri

Tip: Jika rumus tidak jelas pada tampilan mobile/hape, mintalah situs desktop/web pada browser Anda


Barisan Geometri
Suatu arisan u_1, u_2, …, u_n disebut barisan geometri jika mempunyai nilai pembanding atau rasio yang tetap antara satu suku dengan satu suku berikutnya, yaitu

\frac{u_n}{u_{n-1}}=r

dengan r bilangan tetap yang disebut rasio, yang tidak tergantung pada n. Barisan ini mempunyai rumus suku ke-n


dimana u_n : suku ke n
n = 1,2,3, …
a : suku awal
r : rasio

Contoh 1 . Carilah suku pertama, rasio dan suku ke-6 pada dua barisan berikut
a) 5, 10, 20,40, …
b) 4, 2, 1, 1/2, …

Jawab:
a) Suku pertama a = 5, rasio r=\frac{10}{5}=2. Suku ke-6 nya u_6 = 5.2^5=160
b) Suku pertama a = 4, rasio \frac{2}{4}=\frac{1}{2} Suku ke-6 nya 4(\frac{1}{2})^5=\frac{1}{8}

Contoh 2. Suku kedua barisan Geometri adalah 6, sedangkan suku ke sebelasnya adalah 3072.
a) Carilah suku pertama dan rasionya
b) Tentukanlah rumus suku ke-n nya

Jawab:
a) u_2=6⇒ar=6....1
    u_{10}=3072⇒ar^{10}=3072....2
 bagi persamaan (2) oleh persamaan (1), didapat r=2.
 Tukarkan r=2 ke persamaan (1) atau (2), didapat a=3.
 Jadi, suku pertamanya 9 dan rasionya 3
 b) rumus suku ke-n nya u_n=3.2^{n-1}

Suku tengah
Perhatikan barisan-barisan Geometri berikut. Banyak suku pada tiap barisan ini ganjil.
a) u_1, u_2, u_3; banyak suku 3 dan suku tengahnya u_2. Suku tengah u_2 dapat dirumuskan dengan bantuan manipulasi aljabar sbb:

 u_2=ar=\sqrt{a^2r^2} =\sqrt{a.ar^2} =\sqrt{u_1.u_3}

b) u_1, u_2, u_3, u_4, u_5; banyak suku 5 dan suku tengahnya u_3.
 Suku tengah u_3 dapat dirumuskan dengan bantuan manipulasi aljabar sbb:

 u_3=ar^2=\sqrt{a^2r^4} =\sqrt{a.ar^4} =\sqrt{u_1.u_5}

Secara umum untuk barisan geometri u_1, … , u_k, … , u_{2k-1}; banyak suku 2k-1, k>=2, k bilangan asli, suku tengahnya u_k dapat dirumuskan sbb:

 u_k=ar^{k-1} =\sqrt{a^2r^{2(k-1})}=\sqrt{a.ar^{2(k-1})}= \sqrt{u_1.u_{2k-1}}

Sedangkan untuk barisan geometri dengan banyak sukunya genap, itu tidak mempunyai suku tengah.

Contoh 3. Diketahui barisan 3, 9,…,243,. Banyak suku barisan itu ganjil.
a) Cari suku tengahnya
b) Suku ke berapakah itu ?
c) Berapa banyak suku barisan itu ?

Jawab:
Diketahui a = 3, r=3, suku terakhir u_{2k-1}=243
 a) u_k=\sqrt{u_1.u_{2k-1}}=\sqrt{3.243}=\sqrt{729}=27

b) u_k=3.3^{k-1}=27 ,
    ⇒3.3^{k-1}=27\\       \quad 3^{k-1}=9\\       \quad 3^{k-1}=3^2\\           \quad k-1=2\\              \quad k=3

c) Banyak suku barisan itu 2k-1=2.3-1=6-1=5 suku

Sisipan
Misalkan di antara dua bilangan ril a dan c (a\neq c) disisipkan sebanyak k buah bilangan (k bilangan asli), sehingga bilangan-bilangan campuran membentuk barisan geometri. Pertanyaannya adalah berapakah rasio barisan geometri yang terbentuk itu ?. Untuk menjawab pertanyaan itu, kita misalkan rasionya r. Dengan pemisalan itu, barisan geometri yang terbentuk dapat digambarkan sbb:



Untuk menentukan rasionya, bagikan suku terakhir oleh suku sebelummya

 r=\frac{c}{ar^k}

 ⇒ar^{k+1}=c

 ⇒r^{k+1}=\frac{c}{a}

 ⇒r=(\frac{c}{a})^{\frac{1}{ k+1}}=\sqrt[k+1]{\frac{c}{a}}  

Untuk k genap, nilai r hanya ada satu kemungkinan yaitu

  r=\sqrt[k+1]{\frac{c}{a} }  

Untuk k ganjil, nilai r mempunyai dua kemungkinan yaitu

  r=\sqrt[k+1]{\frac{c}{a}} dan r=-\sqrt[k+1]{\frac{c}{a}}  

Contoh 4. Carilah rasio barisan geometri yang terbentuk, dan tuliskan deretnya jika
a) antara \frac{1}{4} dan 32 disispkan 6 bilangan
b) antara 2 dan 512 disispkan 3 bilangan

Jawab:
a) a=\frac{1}{4} , c=32 dan k=6. r=\sqrt[6+1]{\frac{32}{\frac{1}{4}}}=\sqrt[7]{128}=2
    barisannya \frac{1}{4},\frac{1}{2},1,2,4,8,16,32

b) a=2, c = 512 dan k =3. r= \sqrt[3+1]{\frac{512}{2}}=\sqrt[4]{256}=4
    barisannya 2, 8, 32, 128,512
    dan
    r= -\sqrt[3+1]{\frac{512}{2}}=-\sqrt[4]{256}=-4
    barisannya 2, -8, 32, -128,512

Deret Geometri
Jika barisan u_1, u_2, …, u_n adalah barisan geometri maka u_1 + u_2 +…+ u_n adalah deret Geometri. Jumlah n suku pertama deret geometri adalah

S_n = a+ar +ar^2 +…+ar^{n-1} ……..(1) 

Kalikan kedua ruas pada persamaan (1) oleh r

rS_n = ar+ar^2 +ar^3 +…+ar^n ……..(2) 

Kurangkan persamaan (2) oleh persamaan (1), diperoleh

 rS_n - S_n = ar^n - a

 (1- r)S_n = a(r^n -1)

sum of geometric series with ratio>1

Jika r<1, maka

sum of geometric series with ratio<1

Khusus untuk r<1 jika n menuju tak terhingga, maka jumlahnya



Contoh 5 . Carilah jumlah  tiap deret geometri berikut
a) Jumlah 10 suku pertama deret 1+2+4+…
b) Jumlah 10 suku pertama deret 8+4+2+…
c) Jumlah tak terhingga deret 8+4+2+…

Jawab:
a) a=1, r=2>1. Maka S_{10}=\frac{1(2^{10}-1)}{2-1}=\frac{2^{10}-1}{1}=1023

b) a=8, r=\frac{1}{2}<1. Maka S_{10}=\frac{8(1-(\frac{1}{2})^{10})}{1-\frac{1}{2}}=\frac{2^{10}-1}{2^6}=\frac{1023}{64}

c) S_∞=\frac{8}{1-\frac{1}{2}}=\frac{8}{\frac{1}{2}}=16

ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق

Tag Terpopuler