Processing math: 100%

Tak ada dikotomi (pemisahan) ilmu pengetahuan (kecuali ilmu sihir).

الثلاثاء، 8 مايو 2018

Barisan dan Deret Aritmatika


Barisan Aritmatika 
Suatu barisan u_1, u_2, …, u_n disebut barisan aritmatika jika mempunyai nilai beda yang tetap antara satu suku dengan satu suku berikutnya, yaitu

u_{n}-u_{n-1}=b

dengan b bilangan tetap yang disebut beda, yang tidak tergantung pada n 
Barisan ini mempunyai rumus suku ke-n: 


arithmatic term



dimana 
u_n : suku ke n 
n = 1,2,3, … 
a : suku awal 
b : beda 

Contoh 1 . carilah suku pertama, beda dan suku ke-6 pada dua barisan berikut 
a) 5, 14, 23, … 
b) 4, 0, -4, -8, … 

Jawab: 
a) Suku pertama a = 5, beda b = 14-5=9 
    Suku ke-6 








b) Suku pertama a = 4, beda b = 0-4=-4 
    Suku ke-6 








Contoh 2. Suku kedua barisan aritmatika adalah 12, sedangkan suku ke-11 adalah 39. 
a) Carilah suku pertama dan bedanya 
b) Tentukanlah rumus suku ke-n nya 

Jawab: 




a) Kurangi persamaan (1) oleh persamaan (2), didapat b=3
Tukarkan b=3 ke persamaan (1) atau (2), didapat a=9
Jadi, suku pertamanya 9 dan bedanya 3 
b) rumus suku ke-n








Contoh 3(penerapan). Sebuah keluarga besar mempunyai 15 orang anak. Anak bungsunya berumur 10 tahun dan anak ke-10 nya berumur 20 tahun. 
a) Berapakah umur anak pertamanya?. 
b)Tuliskan barisan umur anak-anak kelurga tersebut 

Jawab: 
a) 

Kurangi persamaan (1) oleh persamaan (2), didapat b=-2
Tukarkan b=-2 ke persamaan (1) atau (2), didapat a=38
Jadi, anak pertamanya berumur 38 tahun. 

b) 38,36,34,32,30,28,26,24,22,20,18,16,14,12,10

Suku tengah  

Perhatikan barisan-barisan aritmatika berikut. Banyak suku pada tiap barisan ini ganjil. 
a) u_1, u_2, u_3; banyak suku 3 dan suku tengahnya u_2
Suku tengah u_2 dapat dirumuskan dengan bantuan manipulasi aljabar sbb: 
u_2=a+b=\frac{1}{2}(2a+2b) =\frac{1}{2}(a+(a+2b))=\frac{1}{2}(u_1+u_3) 
b) u_1, u_2, u_3, u_4, u_5; banyak suku 5 dan suku tengahnya u_3. Suku tengah u_3 dapat dirumuskan dengan bantuan manipulasi aljabar sbb: 
u_3=a+2b=\frac{1}{2}(2a+4b) =\frac{1}{2}(a+(a+4b))=\frac{1}{2}(u_1+u_5) 
c) u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_7; banyak suku 7 dan suku tengahnya u_4. Suku tengah u_4 dapat dirumuskan dengan bantuan manipulasi aljabar sbb: 
u_4=a+3b=\frac{1}{2}(2a+6b) =\frac{1}{2}(a+(a+6b))=\frac{1}{2}(u_1+u_7) 

Secara umum untuk barisan aritmatika u_1, … , u_k, … , u_{2k-1}; banyak suku 2k-1, k>=2, k bilangan asli, suku tengahnya u_k dapat dirumuskan sbb: 


the middle term of arithmatic










Contoh 4. Diketahui barisan 3, 6, 9, …,153. Banyak suku barusan itu ganjil. a)Cari suku tengahnya 
b)Suku ke berapakah itu ? 
c)Berapa banyak suku barisan itu ? 

Jawab: 
Diketahui a = 3, b=3, suku terakhir u_{2k-1}=153
a)u_k=\frac{1}{2}(u_1+u_{2k-1})=\frac{1}{2}(3+153)=\frac{156}{2}=78 

b) u_k=a+b(k-1)=78
    3+3(k-1)=78 
    3k=78
    k=\frac{78}{3}=26

c) Banyak suku barisan itu 2k-1=2.26-1=52-1=51 suku 

Sisipan 

Misalkan di antara dua bilangan ril a dan c (a\neq c) disisipkan sebanyak k buah bilangan (k bilangan asli), sehingga bilangan-bilangan campuran membentuk barisan aritmatika. Pertanyaannya adalah berapakah beda barisan aritmatika yang terbentuk itu ?. untuk menjawab pertanyaan itu, kita misalkan bedanya b. Dengan pemisalan itu, barisan aritmatika yang terbentuk dapat dinyatakan sbb: 


Untuk menentukan bedanya, kurangkan suku terakhir oleh suku sebelummya 





Contoh 5. Diantara bilangan 3 dan 30 disisipkan enam bilangan sehingga bilangan-bilangan campuran membentuk barisan aritmatika. Cari beda barisan itu 

Jawab: 
Diketahui a=3, c=30 dan k =6 





Deret aritmatika 

Jika barisan u_1, u_2, …, u_n adalah barisan aritmatika maka u_1 + u_2 +…+u_n adalah deret aritmatika. Jumlah n suku pertama barisan aritmatika adalah 

S_n = u_1 + u_2 +u…+ u_n 

Untuk mempermudah mendapatkan hasil S_n dipakai metode berikut 







Selanjutnya gantikan u_{n-1} oleh u_n -b dan u_{n-2} oleh u_n -2b


S_n=a+(a+b)+(a+2b)+...+u_{n-2}+u_{n-1}+u_n ............(1)


Jika urutan penjumlahan pada (1) dibalik maka 

S_n=u_n+u_{n-1}+u_{n-2}+...+(a+2b)+(a+b)+a ............(2)

Dengan menjumlahkan (1) dan (2) didapat 





sum of arithmatic series


Bentuk lainnya didapat dengan mengganti u_n dengan suku deret aritmatika





Contoh 6. Tentukan jumlah 1000 suku pertama deret bilangan ganjil
a)      Memakai suku ke-n tanpa beda
b)      Memakai beda tanpa suku ke-n

Jawab:

Deret bilangan ganjil adalah 1+3+5+…+2n-1.
u_n = 2n-1, a=1, b=2 dan n=1000.

a)  S_{1000}=\frac{1000(1+2000-1)}{2}=500(2000)=1000000


b) S_{1000}=\frac{1000(2+(1000-1)(2)}{2}=500(2000)=1000000



ليست هناك تعليقات:

إرسال تعليق

Tag Terpopuler