Barisan Aritmatika
Suatu barisan u_1, u_2, …, u_n disebut barisan aritmatika jika mempunyai nilai beda yang tetap antara satu suku dengan satu suku berikutnya, yaitu
u_{n}-u_{n-1}=b
dengan b bilangan tetap yang disebut beda, yang tidak tergantung pada n
Barisan ini mempunyai rumus suku ke-n:

dimana
u_n : suku ke n
n = 1,2,3, …
a : suku awal
b : beda
Contoh 1 . carilah suku pertama, beda dan suku ke-6 pada dua barisan berikut
a) 5, 14, 23, …
b) 4, 0, -4, -8, …
Jawab:
a) Suku pertama a = 5, beda b = 14-5=9
Suku ke-6
a) Suku pertama a = 5, beda b = 14-5=9
Suku ke-6

b) Suku pertama a = 4, beda b = 0-4=-4
Suku ke-6

Contoh 2. Suku kedua barisan aritmatika adalah 12, sedangkan suku ke-11 adalah 39.
a) Carilah suku pertama dan bedanya
b) Tentukanlah rumus suku ke-n nya
Jawab:

a) Kurangi persamaan (1) oleh persamaan (2), didapat b=3.
Tukarkan b=3 ke persamaan (1) atau (2), didapat a=9.
Jadi, suku pertamanya 9 dan bedanya 3
b) rumus suku ke-n

Contoh 3(penerapan). Sebuah keluarga besar mempunyai 15 orang anak. Anak bungsunya berumur 10 tahun dan anak ke-10 nya berumur 20 tahun.
a) Berapakah umur anak pertamanya?.
b)Tuliskan barisan umur anak-anak kelurga tersebut
Kurangi persamaan (1) oleh persamaan (2), didapat b=-2.
Tukarkan b=-2 ke persamaan (1) atau (2), didapat a=38.
Jadi, anak pertamanya berumur 38 tahun.
b) 38,36,34,32,30,28,26,24,22,20,18,16,14,12,10
Suku tengah
Perhatikan barisan-barisan aritmatika berikut. Banyak suku pada tiap barisan ini ganjil.
a) u_1, u_2, u_3; banyak suku 3 dan suku tengahnya u_2.
Suku tengah u_2 dapat dirumuskan dengan bantuan manipulasi aljabar sbb:
u_2=a+b=\frac{1}{2}(2a+2b) =\frac{1}{2}(a+(a+2b))=\frac{1}{2}(u_1+u_3)
b) u_1, u_2, u_3, u_4, u_5; banyak suku 5 dan suku tengahnya u_3.
Suku tengah u_3 dapat dirumuskan dengan bantuan manipulasi aljabar sbb:
u_3=a+2b=\frac{1}{2}(2a+4b) =\frac{1}{2}(a+(a+4b))=\frac{1}{2}(u_1+u_5)
c) u_1, u_2, u_3, u_4, u_5, u_6, u_7; banyak suku 7 dan suku tengahnya u_4.
Suku tengah u_4 dapat dirumuskan dengan bantuan manipulasi aljabar sbb:
u_4=a+3b=\frac{1}{2}(2a+6b) =\frac{1}{2}(a+(a+6b))=\frac{1}{2}(u_1+u_7)
Secara umum untuk barisan aritmatika u_1, … , u_k, … , u_{2k-1}; banyak suku 2k-1, k>=2, k bilangan asli,
suku tengahnya u_k dapat dirumuskan sbb:
Contoh 4. Diketahui barisan 3, 6, 9, …,153. Banyak suku barusan itu ganjil. a)Cari suku tengahnya

Contoh 4. Diketahui barisan 3, 6, 9, …,153. Banyak suku barusan itu ganjil. a)Cari suku tengahnya
b)Suku ke berapakah itu ?
c)Berapa banyak suku barisan itu ?
Jawab:
Diketahui a = 3, b=3, suku terakhir u_{2k-1}=153
Diketahui a = 3, b=3, suku terakhir u_{2k-1}=153
a)u_k=\frac{1}{2}(u_1+u_{2k-1})=\frac{1}{2}(3+153)=\frac{156}{2}=78
b) u_k=a+b(k-1)=78
3+3(k-1)=78
3k=78
k=\frac{78}{3}=26
c) Banyak suku barisan itu 2k-1=2.26-1=52-1=51 suku
Sisipan
Misalkan di antara dua bilangan ril a dan c (a\neq c) disisipkan sebanyak k buah bilangan (k bilangan asli), sehingga bilangan-bilangan campuran membentuk barisan aritmatika. Pertanyaannya adalah berapakah beda barisan aritmatika yang terbentuk itu ?. untuk menjawab pertanyaan itu, kita misalkan bedanya b. Dengan pemisalan itu, barisan aritmatika yang terbentuk dapat dinyatakan sbb:
Untuk menentukan bedanya, kurangkan suku terakhir oleh suku sebelummya


Contoh 5. Diantara bilangan 3 dan 30 disisipkan enam bilangan sehingga bilangan-bilangan campuran membentuk barisan aritmatika. Cari beda barisan itu
Jawab:
Diketahui a=3, c=30 dan k =6
Diketahui a=3, c=30 dan k =6

Deret aritmatika
Jika barisan u_1, u_2, …, u_n adalah barisan aritmatika maka u_1 + u_2 +…+u_n adalah deret aritmatika.
Jumlah n suku pertama barisan aritmatika adalah
S_n = u_1 + u_2 +u…+ u_n
Untuk mempermudah mendapatkan hasil S_n dipakai metode berikut
Selanjutnya gantikan u_{n-1} oleh u_n -b dan u_{n-2} oleh u_n -2b
S_n=a+(a+b)+(a+2b)+...+u_{n-2}+u_{n-1}+u_n ............(1)
Jika urutan penjumlahan pada (1) dibalik maka
S_n=u_n+u_{n-1}+u_{n-2}+...+(a+2b)+(a+b)+a ............(2)
Dengan menjumlahkan (1) dan (2) didapat

Contoh 6. Tentukan jumlah 1000 suku pertama deret bilangan ganjil
Selanjutnya gantikan u_{n-1} oleh u_n -b dan u_{n-2} oleh u_n -2b
S_n=a+(a+b)+(a+2b)+...+u_{n-2}+u_{n-1}+u_n ............(1)
S_n=u_n+u_{n-1}+u_{n-2}+...+(a+2b)+(a+b)+a ............(2)
Dengan menjumlahkan (1) dan (2) didapat

Bentuk lainnya didapat dengan mengganti u_n dengan suku deret aritmatika
Contoh 6. Tentukan jumlah 1000 suku pertama deret bilangan ganjil
a) Memakai
suku ke-n tanpa beda
b) Memakai
beda tanpa suku ke-n
Jawab:
Deret bilangan ganjil adalah 1+3+5+…+2n-1.
u_n = 2n-1, a=1, b=2 dan n=1000.
a) S_{1000}=\frac{1000(1+2000-1)}{2}=500(2000)=1000000
b) S_{1000}=\frac{1000(2+(1000-1)(2)}{2}=500(2000)=1000000
ليست هناك تعليقات:
إرسال تعليق