Distribusi Binom dan Multinom

1 Distribusi Binom

Perhatikan eksperimen yang menghasilkan dua peristiwa A dan bukan A ditulis $\bar{A}$, dengan peluang terjadinya A adalah $P(A)=\pi$.
Jika dalam percobaan dalam eksperimen itu peluang terjadinya A, $P(A)=\pi$ harganya tetap, maka percobaan yang berulang dalam eksperimen dinamakan percobaan Bernoulli. Jika percobaan Bernoulli dilakukan secara independen sebanyak $N$ kali, $X$ menghasilkan peristiwa $A$ dan $(N-X)$ menghasilkan peristiwa Ā $\bar{A}$. Jika $P(A)=\pi$ dan $P(\bar{A})=1-\pi$, maka peluang terjadinya $A$ sebanyak $X=x$ kali di antara $N$ dihitung dengan rumus

Rumus distribusi peluang ini merupakan rumus dengan variabel acak diskrit yang disebut distribusi binom.
Disini jelah berlaku $Σp(x) = 1$ dengan penjumlahan dilakukan untuk semua harga $x = 0, 1, 2, …, N$.
Distribusi binom ini mempunyai parameter- parameter yang ditinjau dari peristiwa A antara lain $μ$ (mu kecil) untuk rata-rata dan $σ$ (sigma kecil) untuk simpangan baku yang dirumuskan dengan:

Contoh 1. Cari peluang mendapatkan 7 kali sisi angka A ketika melakukan 10 kali lemparan dengan uang logam homogen (sama).

Solusi:
peluang mendapatkan sisi angka A dalam satu lemparan adalah π = ½, maka

Jadi, peluang mendapatkan 7 kali sisi angka A ketika melakukan 10 kali lemparan adalah 0,1172.

Contoh 2 . 10% lulusan tertentu tergolong pengangguran. Sebuah sampel berukuran 20 telah diambil secara acak dari lulusan tertentu . Berapa peluang itu akan berisi pengangguran?
a)1 orang
b) 5 orang
c)paling sedikit 2 orang
d) paling banyak 3 orang
e)semuanya
f)tentukan rata-rata terdapat pengangguran

solusi:
kita artikan $X $= lulusan tertentu . Maka $π $=  peluang berisi pengangguran = 10% = 0,1.
a)peluang berisi  1 orang pengangguran

b) peluang berisi  5 orang pengangguran

c) peluang berisi  paling sedikit 2 orang pengangguran

d) peluang berisi  paling banyak 3 orang

e)semuanya berisi pengangguran

Sebuah harga yang sangat kecil setara dengan 0 (hampir tidak mungkin semuanya berisi pengangguran).

f)rata-rata terdapat pengangguran

Jadi, diharapkan didapat rata-rata terdapat 2 pengangguran.

2. Distribusi Multinom

Distribusi binom dapat diperluas untuk menghitung peluang beberapa peristiwa sekaligus dengan sifat setiap peristiwa menghasilkan dua peristiwa E dan bukan E. Hasil perluasan distribusi binom ini disebut distribusi multinom.
Misalkan sebuah eksperimen menghasilkan peristiwa $E_{1}, E_{2},…, E_{k}$ dengan peluang-peluang $P(E_{1})=\pi_{1}, P(E_{2})=\pi_{2},,…, P(E_{k})=\pi_{k}$ dan $\pi_{1}+\pi_{2}+…+\pi_{k}=1$. Terhadap eksperimen ini dilakukan percobaan sebanyak $N$ kali. Maka peluang akan terdapat $x_1$ peristiwa $E_1$, $x_2$ peristiwa $E_2$,…,$x_k$ peristiwa $E_k$ diantara $N$ ditentukan oleh distribusi multinom dengan rumus

Dengan

Distribusi multinom ini mempunyai parameter- parameter yang ditinjau dari peristiwa $E_i$ yaitu $μ_i$ untuk rata-rata dan $σ_{i}^2$ untuk varians yang dirumuskan dengan:

Contoh 3. Sebuah kotak berisi 4 barang dari mesin A, 5 barang dari mesin B, 6 barang dari mesin C dan 7 barang dari mesin D. sebuah barang diambil secara acak dari kotak itu, identitas mesinnya dilihat, kemudian disimpan lagi ke dalam kotak. Dengan cara seperti itu akan diambil 10 barang. Tentukan peluang di antara 10 barang yang diambil itu 2 dari mesin A, 3 dari mesin B, 1 dari mesin C dan 4 dari mesin D.

Solusi:
Peluang dari mesin A, $\pi_{1}=P(A)=\frac{4}{22}, x_{1}=2$,
Peluang dari mesin B, $\pi_{2}=P(B)= \frac{5}{22}, x_{2}=3$,
Peluang dari mesin C, $\pi_{3}=P(C)= \frac{6}{22}, x_{3}=1$,
Peluang dari mesin D, $\pi_{4}=P(D)= \frac{7}{22}, x_{4}=4$.
Maka